С каждым уравнением связываются две функции и .

Кто же прав?
С каждым уравнением f ( x)  g ( x) связываются две функции f (x) и g (x ) .
Однако если рассматривать уравнение как равенство двух выражений с переменными
(формами), тогда f (x) и g (x ) будут называться формами (термин «числовая форма»
вводить не обязательно.). Разумеется, связь между формами и определяемыми ими
функциями х  f (x ) , так тесна и естественна, что различия в толковании термина
уравнение не имеет значения. Итак, условимся рассматривать левую и правую части
уравнения как числовые выражения с переменными (числовые формы). Однако форма –
это не просто некоторое выражение, в котором одна или несколько букв названы
переменными. Чрезвычайно важно: при объявлении одной или нескольких букв в данном
выражении переменными необходимо еще указать, какие значения они могут принимать,
эти значения переменных (наборы значений, если переменных несколько) и называют
обычно допустимыми значениями; множество допустимых значений называют областью
определения числового выражения с переменными (числовой формы1). На практике
числовые выражения с переменными рассматривают, как правило, без явного указания
их области определения. При этом всегда имеется в виду, что область определения
состоит из всех значений переменных, при подстановке которых в форму, получается
некоторое число, в таком случае говорят, что форма имеет смысл. Так возникает
естественная область определения, т.е. «самое большое множество допустимых
значений».
Естественная область определения, если нет четкой договоренности, зависит от
множества на котором рассматривается числовое выражение, т. е. от конкретных знаний.
Например, для младших школьников форма 12 х  5 у имеет естественную область
10 х для учеников основной школы
определения, состоящую из натуральных чисел;
- х 0.
Вопрос, который рассматривается в данной заметке, вызывает споры из-за разных
представлений о естественной области определения числового выражения вида u v .
Рассмотрим числовое выражение (числовую форму) u v .
Определение показательной функции дает нам возможность считать допустимыми все
пары (u, v), в которых u  0 ,
а определение степени дает возможность считать допустимыми:

все пары (u, v), в которых u  0 ;

пары, в которых u  0 , v – целое;

пары, в которых u  0 , v – натуральное число.2
Рассмотрим числовое выражение (числовую форму) u ( x)v ( x ) с одним переменным х.
Из выше сказанного вытекает, что естественная область определения этого числового
выражения состоит из значений х трех видов:
1. u(x) > 0, v(x) – имеет смысл;
2. u(x) < 0, v(x) - целое число;
3. u(x) = 0, v(x) - целое положительное число.
Таким образом, хотя в школе не рассматриваются специальные соглашения о том, что
считать областью определения
u ( x)v ( x ) , изученный теоретический материал при
1
отсутствии специальных дополнительных условий, позволяет решить этот вопрос
однозначно.
В частном случае, можно утверждать, что õ  - 1 является корнем уравнения х 2 х  1 ;
2х
õ  - 1 не является корнем уравнения х 3  1 , так как значение (1)
х
3
8

3

2
3
не определено;
8

3
õ  - 8 не является корнем х  х , (8) не определено;
õ  0 и õ  - 0,5 - корни уравнения х 2 х  5  х 4 ;
õ0
и õ  - 0,5 - не являются корнями уравнения
х
2 х 5
3
4
 х3 ,
но являются корнями
уравнения 3 х2 х  5  3 х4 ;
не является корнем уравнения х х  2,5  х 2 , а õ  - 0,5 – его корень.
õ0
«Противники» отрицательных оснований в показательно-степенных уравнениях
основываются на том, что показательная функция определена только для положительных
оснований, не равных 1. Однако этот аргумент в данном случае не состоятелен,
поскольку речь идет не о показательной функции, а числовой форме вида u ( x)v ( x ) .3
Как же найти те корни уравнения, при которых основание степени отрицательно
(для отрицательных оснований «не работают» приемы решения, связанные с
логарифмированием)?
Как же эту трудность можно обойти?
Пусть дано уравнение вида u ( x)v ( x )  f ( x) .
Найдем те его корни, при которых u(x) < 0, v(x) - целое число.
v( x)
n
 f ( x) есть
Так как при любом а и целом n а n  a , то уравнение u ( x)
u ( x)
 f ( x) основание
следствие уравнения u ( x)v ( x )  f ( x) .
В уравнении
степени положительно, приемы решения, связанные с логарифмированием
«работают», поэтому достаточно его решить и выполнить проверку, так как могут
появиться посторонние корни.
Рассмотрим несколько примеров.
2 у 1
 3,
 х
1. Решить систему уравнений
.
 4у
 х  5
а) õ  0 .
2 у  1log 5 x  log 5 3,
5
1
.
… y  log 5 5 , x 

3
4
y
log
x

1
.
2
5

9
v( x)
б) õ  0 , 2у - 1 и 4у – целые числа.
 х 2 у 1  3,
Система  4 у
есть следствие данной системы.
 х  5.
5
1
х
.
Решим систему и получим:
y  log 5 5 ,
3
2 9
1
õ  0 получим: y  log 5 5 ,
2 9
x
5
.
3
2
С учетом условия
2 у  1  log 5 5  1
Эта пара чисел является решением данной системы, если
и
9
4 y  2 log 5 5 - целые числа.
9
k
5
2 log 5 5  k ,    25 . Очевидно, что k не может быть целым числом.
9
9
Итак, система имеет единственное решение
2. Решить систему уравнений
1
y  log 5 5 ,
2 9
x
5
.
3
 х х  у  у12 ,
.
 х у
 у  х 3
В отличие от предыдущего примера, где мы сначала нашли положительные решения,
 х х  у  у 12 ,
 х у
3
здесь мы сразу будем рассматривать систему:
 х . Эта система, являясь
 у
следствием данной, если х  0 и у  0 совпадает с ней, а при остальных значениях õ
и ó это следует из свойств модуля. Заметим, очевидно, что х  0 и у  0 , и поэтому
при преобразованиях имеем право, применить свойства степеней с положительным
основанием.
х у
 х х  у  у 12 ,

12 ,
у

х


Система  у х  у  х 3 равносильна системе 
.
 х  у 2

3
 х 12  х

х
 х  у 2
12
 х , очевидно, возможны следующие случаи:
3
1) х  1 ; 2) õ  ó  6;
1.
 х х  у  у 12 ,
 х у
3
 х .
 у
3) õ  ó  - 6 .
х  1 , получаем у = 1, откуда у  1 , у = 1, у = -1.
Таким образом, система
12
 х х  у  у 12 ,
 х у
3
имеет решения:
 х
 у
(-1; -1), (-1; 1), (1; -1),
(1; 1).
Проверка показывает, что решениями системы
только две пары:
 х х  у  у12 ,
являются
 х у
 у  х 3
(1; -1), (1; 1).
 х 6  у12 ,
 х х  у  у12 ,
2. Если х + у = 6, то система  х  у
равносильна
системе
.
 3
 х  у 6
 у  х 3
3
 х  у  6,
Т.е 
.
2
х  у
Получаем еще две пары решений данной системы: (4; 2), (9; -3).
 х х  у  у12 ,
3. Если х + у = - 6, то система  х  у
равносильна системе
 у  х 3
 х  у  6,
 х  6  у,
Т.е 
. …  3
.
2
2
у  6у 1  0
х  у
 х 6  у12 ,
.
 3
 х  у  6
Уравнение у 3  6 у 2  1  0 имеет корень, который лежит в промежутке (-7; -6), в
чем легко убедиться, графически, например, построить график функции
z = у3  6 у 2  1 .
 1 
3
2
 2 ; а  , где -7 < а < -6 - корень уравнения у  6 у  1  0 еще одно решение
а

 х х  у  у12 ,
системы  х  у
.
 у  х 3
 1 
( 1- 1, ) ,(1, 1),
(4, 2), (9, - 3),  2 ; а  , где - 7  à  - 6 - корень
Ответ.
а

3
2
уравнения у  6 у  1  0 .
4