Простые числа - Никифорова Наталья Сергеевна

простые числа
Может ли сумма пяти простых чисел тоже быть простым числом?
(Поляков Женя)
Ответ. Да. Например, 5+3+11+23+37=79.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Найдите все простые числа, квадрат которых, измененный на 1, тоже простое число.
(Юрасов Дима)
Ответ. 2.
Решение.
Пусть x - число, удовлетворяющее условиям задачи.
Если x  2 , то x  2k  1 (т.е. является нечетным числом). Тогда
 4 k 2  4k  2  2 2k 2  2k  1
2
2
2
x  1  2k  1  1  4k  4k  1  
2
2
4k  4k  4 k  k
и, следовательно, не является простым числом.
Легко проверить, что x  2 удовлетворяет условиям задачи.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




Существует ли 4 различных простых числа, таких, что сумма любых трех из них тоже
простое число?
(Поляков Женя)
Ответ. Да. (5, 13, 23, 43)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------«Близнецами» называют два простых числа, которые отличаются на 2. Два числаблизнеца приписали друг к другу (например, 1719 или 1917). Полученное число оказалось
простым. Найти полученное число. (Поляков Женя)
Ответ. 53.
Решение.
Пусть ни одно из исходных простых чисел не кратно 3. Тогда полученное число кратно 3
, т.е. равно 3, а этого быть не может. Поэтому исходные числа – 3 и 5, а нужное простое
число – 53.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В начале урока Наталья Сергеевна раздала детям по одному кубику, на гранях которых
написаны простые числа (на каждой грани по одному). Дима подсчитал сумму всех шести
чисел на своем кубике, а Леня – на своем, после чего две полученные суммы
перемножили и получили число 33582. Назовите хотя бы одно число из двенадцати,
написанных на кубиках Димы и Лени.(?)
Ответ. 2
Решение.
Все простые числа, кроме 2, - нечетны, следовательно, если числа 2 на кубиках нет, то обе
суммы будут четными, а значит, их произведение будет делиться на 4.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Найдите все натуральные значения n, для которых число n5 + n + 1 является простым.
(Московские регаты)
Ответ. п=1.
Решение.
Разложим данное выражение на множители: n5 + n + 1 = (n5 – n2) + (n2+ n + 1) = n2(n –
1)(n2+ n + 1) + (n2+ n + 1) = (n2 + n + 1)(n3 – n2 + 1). Данное число будет простым тогда и
только тогда, когда один из полученных множителей равен 1, а другой множитель –
простое число. Так как n2 + n + 1  3 при всех натуральных значениях n, то n3 – n2 + 1 = 1,
то есть, n2(n – 1) = 0. Это уравнение в натуральных числах имеет единственное решение: n
= 1. При этом значении n первый множитель равен 3.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
простые числа
Укажите два простых числа, разность квадратов и сумма квадратов которых также
является простым числом.
(Кострома ТЮМ2002)
Ответ. 2 и 3.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Сумма четырех различных простых чисел делится на 6. Докажите, что сумма их кубов
также делится на 6.
(Поляков Женя)
Доказательство.
Заметим, что любое простое число p и его куб имеют одинаковые остатки при делении на
6. Значит, сумма четырех кубов простых чисел будет иметь такой же остаток при делении
на 6, как и сумма этих четырех чисел. А это и означает, что если сумма четырех
различных простых чисел делится на 6, то и сумма их кубов также делится на 6.