Решение. 1) Уравнение плоскости, проходящей через точки Ax1 , y1 , z1 , Bx2 , y2 , z2 , C x3 , y3 , z3 , имеет вид x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0 . x3 x1 y3 y1 z3 z1 x 1 y2 z 1 x 1 y 2 z 1 Тогда уравнение плоскости ABC имеет вид 3 1 2 2 1 1 0 или 2 1 1 02 3 1 0 0 2 0. 2 4 Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде Ax By Cz D 0 . Для этого раскроем определитель по первой строке: x 1(0 4) y 2 8 0 z 1 4 0 0 . После преобразований получим: x 2 y z 2 0 . 2) Уравнение плоскости, Ax x0 B y y0 C z z0 0 . Подставим в уравнение Ax 3 B y 1 Cz 5 0 . проходящей через точку Ax x0 B y y0 C z z0 0 M 0 x0 , y0 , z0 , координаты имеет точки вид D 3;1;5 : Условие параллельности плоскостей A1x B1 y C1z D1 0 и A2 x B2 y C2 z D2 0 имеет вид A1 B1 C1 . Так как искомая плоскость и плоскость ABC параллельны, то в качестве нормального A2 B2 C2 вектора N искомой плоскости можно взять нормальный вектор N1 1;2;1 плоскости ABC , то есть A B C A B C в формуле 1 1 1 отношение можно принять равным единице. Следовательно, 1 2 1 A2 B2 C2 уравнение искомой плоскости примет вид 1 x 3 2 y 1 1 z 5 0 . Запишем это уравнение в общем виде: x 2 y z 0 . 3) Уравнения прямой, проходящей через точки M1 x1, y1, z1 и M 2 x2 , y2 , z2 , имеют вид: x x1 y y1 z z1 . x2 x1 y2 y1 z2 z1 x x1 y y1 z z1 получим уравнения прямой x2 x1 y2 y1 z2 z1 x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 AD : или . 3 1 1 2 5 1 2 3 6 Так как A 1;2;1, D 3;1;5 , то в силу 4) Канонические уравнения прямой имеют вид координаты точки, через которую проходит прямая. x x0 y y0 z z0 . Здесь p q r x0 , y0 , z0 - В канонические уравнения искомой прямой подставим координаты точки B 3;2;1 . Получим x 3 y 2 z 1 . p q r Условие параллельности прямых x x1 y y1 z z1 x x2 y y2 z z2 и имеет вид p1 q1 r1 p2 q2 r2 p1 q1 r1 . p2 q2 r2 Так как искомая прямая и прямая AD параллельны, то в качестве направляющего вектора s искомой прямой можно взять направляющий вектор s1 2;3;6 прямой AD , то есть в формуле p q r p1 q1 r1 отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение 2 3 6 p2 q2 r2 x 3 y 2 z 1 искомой прямой примет вид . 2 3 6 x 1 y 2 z 1 координаты направляющего вектора s1 p1 , q1 , r1 2 3 6 определяются равенствами p1 2; q1 3; r1 6 . 5) Для прямой AD : x 3t 2 Для прямой y 2t 1 координаты направляющего . вектора s2 p2 , q2 , r2 определяются z 2t 1 равенствами p2 3; q2 2; r2 2 . Угол между двумя прямыми представляет собой угол между их направляющими векторами p1 p2 q1q2 r1r2 s1 p1 , q1 , r1 и s2 p2 , q2 , r2 , и определяются равенством cos . p12 q12 r12 p22 q22 r22 Значит, cos 2 3 3 2 6 2 22 32 62 32 22 22 6 6 12 4 9 36 9 4 4 12 12 . 49 17 7 17 x x0 y y0 z z0 и плоскостью Ax By Cz D 0 определяется p q r Ap Bq Cr . 2 A B2 C 2 p2 q2 r 2 6) Угол между прямой формулой sin нормального вектора N A, B, C x 1 y 2 z 1 определяются равенствами A 1; B 2; C 1. Для прямой AD : координаты 2 3 6 направляющего вектора s p, q, r определяются равенствами p 2; q 3; r 6 . Синус угла между плоскостью ABC и плоскостью AD равен Для плоскости ABC : x 2 y z 2 0 координаты sin 1 2 2 3 1 6 1 2 1 2 2 2 2 2 3 6 2 2 266 2 2 1 4 1 4 9 36 6 49 7 6