Урок 9. Уравнение плоскости.Уравнение сферы. Уравнение с

Урок 9. Уравнение плоскости.Уравнение сферы.
Уравнение с тремя переменными x, у, z называется уравнением данной поверхности P в системе
координат Охуz, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности Р и не
удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. Из всех возможных
поверхностей нас сегодня будет интересовать уравнение плоскости.
Пусть дана некоторая точка M0(x0;y0;z0) и ненулевой вектор
одну плоскость α перпендикулярную вектору
. Через точку M0 можно провести только
(см. рис. 1).
Рис. 1.
Выведем уравнение плоскости α. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М
принадлежит плоскости α только тогда, когда вектор
перпендикулярен вектору
уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору
. Поэтому
, можно записать в
виде:
. Вектор
в уравнении называется нормальным вектором плоскости. В качестве
нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.
Пусть координаты вектора
x, y и z. Тогда вектор
равны
. И обозначим координаты произвольной точки М через
имеет координаты
.
Теперь можно записать уравнение плоскости через координаты вектора
и вектора
:
Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0)
перпендикулярно вектору
(А; В; С). Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, обозначив
слагаемые, не содержащие переменные за D:
;
;
.
Зная уравнение плоскости, можно найти расстояние от точки, не лежащей на плоскости до самой
плоскости.
Дано: В некоторой декартовой системе координат уравнение Ax+By +Cz+D=0, описывающее
плоскость. M0(x0, y0, z0) - точка пространства, заданная своими координатами в той же системе
координат (см. рис. 2).
Рис. 2.
Найти: расстояние от точки М0 до плоскости.
Решение: Пусть точка М1(x1;y1;z1)-проекция точки М0 на плоскость. Значит, нам необходимо найти
длину отрезка M0M1. Чтобы найти расстояние d, выразим вектор
координаты которого мы знаем по уравнению плоскости Так как вектор
и вектор
через вектор нормали,
(А; В; С):
.
- коллинеарны, значит, можно выразить координаты
вектора
двумя способами:
Получаем систему уравнений:
,
.
Выражаем координаты точки M1:
Подставим координаты точки M1 в уравнение плоскости, так как эта точка лежит в плоскости α:
.
Отсюда выражаем коэффициент k:
.
Теперь выведем формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости:
.
Уравнение сферы
Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке O1(x0;y0;z0). Согласно
определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от центра O1(x0;y0;z0)
равно радиусу R, т. е. O1M= R. Но
где
,
. Следовательно,
Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее
точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.
Если центр сферы Ο1 совпадает с началом координат, то уравнение сферы
принимает вид
.
Если же дано уравнение вида F(x;y;z) = 0 , то оно, вообще говоря, определяет в
пространстве некоторую поверхность.
Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x; y;
z)=0 может определять не поверхность, а точку, линию или вовсе не определять
никакой геометрический образ. Говорят, «поверхность вырождается».
Так, уравнению
не удовлетворяют никакие действительные
значения х, у, z. Уравнению
удовлетворяют лишь координаты
точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у = 0, z = 0, а х — любое число).
Задача 1.
Дано: Треугольник с вершинами в точках А1{-5;2;7), А2(5;0;6), А3(0;-1;2). А1М0 – медиана (см. рис. 3).
Найти: уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно медиане А1М0.
Рис. 3.
Решение:
Чтобы написать уравнение плоскости, мы должны знать координаты точки М0, принадлежащей
плоскости, и координаты вектора нормали. За нормальный вектор плоскости можно принять
вектор
. Определим его координаты. Точка М0 — середина отрезка А2А3, поэтому, ее
координаты равны
.
Координаты нормального вектора
находим, вычитая из координат конца координаты
начала вектора:
.
Теперь подставим все нужные числа в уравнение плоскости:
;
.
Ответ:
.
Задача 2.
Дано: прямоугольный параллелепипед (см. рис. 4), AB=4; AD=3; AA1=2. A1K:KD1=2:1;
K∈α;
;
. Найти: а) Расстояние от B1 до α, б) Расстояние от M до D1.
Рис. 4.
Решение: Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке.
а) Чтобы найти нужное нам расстояние напишем уравнение плоскости α. Для этого узнаем координаты
точки K и координаты вектора нормали к плоскости. Вектор нормали в данном случае – это
вектор
С1.
. Так как это радиус-вектор, его координаты совпадают с координатами точки
; K(0;2;2).
Тогда уравнение плоскости α имеет вид
Или
,
.
Искомое расстояние от точки В1 до плоскости α находим по формуле:
.
Координаты точки В1 равны (4;0;2). Тогда
.
б) Чтобы узнать необходимое расстояние найдем координаты точек M и D1, D1(0;3;2).По условию,
точка M находится на прямой BC, значит M(4;y;0). Так как точка М(4;y;0) принадлежит плоскости α, то
ее координаты можно подставить в уравнение плоскости, которое мы уже знаем Получили: 16+3y-10=0. Тогда y=-2, M(4;-2;0).
Теперь найдем модуль вектора
, как корень из суммы квадратов разности координат конца и
начала вектора:
.
Ответ:
;
.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет
1. Ege-ok.ru (Источник).
2. Сайт Павла Бердова (Источник).
3. Ege-study.ru (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1.Выучить конспект.
2.Выучить формулы.