Найти точку, симметричную относительно прямой

307
Расчетно-графическая работа
y
Задача 8б. Найти точку M 1 , симметричную точке M (1, 0, − 2) относительно прямой l : x−2 = = z +1 .
1
2
−3
Решение. Сначала составим уравнение плоскости α , проходящей через точку M перпендикулярно прямой l
(рис. 6.9).
l
S
M
O
α
M1
Рис. 6.9
Вектор нормали N к плоскости α совпадает с направляющим вектором S прямой l —
N = S = (1, 2, − 3) .
Тогда уравнение плоскости имеет вид: 1(x − 1) + 2( y − 0 ) − 3(z + 2 ) = 0 или x + 2 y − 3z = 7 .
Найдем координаты точки O (x 0 y 0 , z 0 ) пересечения прямой l и плоскости α так, как мы это делали в задаче 7.
Запишем параметрические уравнения прямой l :
⎧ x = t + 2,
⎪
⎨ y = 2t ,
⎪ z = −3t − 1,
⎩
t∈R .
Подставим эти выражения в уравнение плоскости и найдем соответствующее значение параметра t 0 :
t 0 + 2 + 2(2t 0 ) − 3(− 3t 0 − 1) = 7
(
)
Итак, точка O имеет координаты O 15 , 2 , − 10 .
7 7
7
Поскольку точка O является серединой отрезка MM 1 ,
x M + x M1
⎧
,
⎪ x0 =
⎧ x M = 30 − 1 = 23 ,
2
⎧ x M1 = 2 x 0 − x M ,
⎪
7
⎪ 1 7
y M + y M1
⎪
⎪⎪
⎪⎪
4
4
, ⇒ ⎨ y M1 = 2 y 0 − y M , ⇒ ⎨ y M 1 = − 0 = ,
⎨ y0 =
7
7
2
⎪
⎪
⎪
z
z
z
2
,
=
−
⎪⎩ M1
0
M
z M + z M1
⎪ z M 1 = − 20 + 2 = − 6 .
⎪
7
7
⎩
,
⎪z0 =
2
⎪⎩
(
)
Ответ: точка M 1 имеет координаты M 1 23 , 4 , − 6 .
7 7 7
⇒ t 0 = 17 .