1. Найти расстояние от точки М0(-12,7,-1) до плоскости, проходящей через точки М1(-3,4,-7), М2(1,5,-4) , М3(-5,-2,0) Решение: Найдем уравнение плоскости: x3 y4 z7 1 3 5 4 4 7 0 5 3 2 4 0 7 x3 y4 z7 4 1 3 0 2 6 7 1 3 4 3 4 1 x 3 y 4 z 7 0 6 7 2 7 2 6 25 x 3 34 y 4 22 z 7 0 25 x 34 y 22 z 57 0 Если плоскость задана уравнением ax by cz d 0 , то расстояние от точки x0 , y0 , z0 до нее находим по формуле: ax0 by0 cz0 d a 2 b2 c2 25 12 34 7 22 1 57 252 342 222 459 2265 459 2265 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1,0,-2) перпендикулярно вектору ВС, если В(2,-1,3) и С (0,-3, 2). Решение: Найдем координаты вектора BC : BC 0 2, 3 1 , 2 3 2, 2, 1 Уравнение плоскости имеет вид: ax by cz d 0 , где a, b, c – вектор нормали, т.е. вектор, перпендикулярный плоскости, в качестве которого возьмем BC . Неизвестную d находим, подставив в уравнение координаты точки A : ax by cz d 0 2 x 2 y z d 0 2 1 2 0 1 2 d 0 d 0 Таким образом, уравнение искомой плоскости: 2 x 2 y z 0 0 2x 2 y z 0 3. Найти угол между плоскостями х – 3у +5 =0 и 2х – у + 5z – 16 = 0 Решение: Угол между плоскостями равен углу между их нормалями: cos n1 n2 n1 n2 , где, в нашем случае, n1 1, 3, 0 n2 2, 1, 5 Тогда cos 1 2 3 1 0 5 1 3 0 2 1 5 2 2 2 2 2 2 23 5 1 10 30 10 3 2 3 4. Найти z-координату точки А(0,0, z), равноудаленной от точек В(5,1,0) и С(0,2,3). Решение: Найдем координаты векторов AB и AC : AB 5 0, 1 0, 0 z 5, 1, z AC 0 0, 2 0, 3 z 0, 2, 3 z Расстояния AB и AC – это длины векторов AB и AC , которые по условию должны быть равны: AB AC 52 11 z 02 22 3 z 2 2 25 1 z 2 4 9 6 z z 2 26 13 6 z 6 z 13 z 13 6 Следовательно, точка A имеет координаты A 0, 0, . 6 13 5. Напишите каноническое уравнение прямой, заданной системой уравнений 2x y z 2 0 2 x y 3z 6 0 Решение: Найдем направляющие вектора: n1 2;1;1 n2 2;1;3 i j k s n1 n2 2 1 1 i 2 1 3 1 1 1 3 j 2 1 2 3 k 2 1 2 1 i (3 1) j (6 2) k (2 2) 2i 8 j 4k Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен ни одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает все три координатные плоскости. Следовательно, любую из координат можно положить равной нулю, а две другие найти, решая систему уравненений. Положим y=0, тогда 2x z 2 0 2 x 3 z 6 0 x0 0; z 0 2 M (0;0;2) x y z2 2 8 4