Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору ВС . Написать ее общее уравнение, а также, нормальное и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости Р1, проходящей через точки А, В, С. Нати угол между плоскостями Р и Р1. Найти расстояние от точки Д до плоскости Р. A(1;1;2), B(2;3;-1), C(2;-2;4), Д(-1;2;2) Найдем вектор ВС ={xС-xВ;yС-yВ;zС-zВ}={0;-5;5} Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку А(1;1;2), перпендикулярно вектору ВС . Р: 0*(x-1)-5*(y-1)+5*(z-2)=0; y-1-z+2=0; y-z+1=0; Общее уравнение плоскости Р: y-z+1=0 Вектор нормали плоскости Р: N ={0;1;-1}; его длина I N I = 2 1 1 1 Запишем нормальное уравнение плоскости Р: y z 0. 2 2 2 Запишем уравнение плоскости Р в отрезках: y z 1 0; y z 1 1 . y z 1 1 1 Имея координаты точек А, В и С составляем уравнение плоскости Р1. x xA y yA z zA x B x A y B y A z B z A 0; xC x A yC y A zC z A x 1 y 1 z 2 2 1 3 1 1 2 0; 2 1 2 1 4 2 x 1 y 1 z 2 1 2 3 0; 1 3 2 2 3 1 3 1 2 y 1 z 2 0; 3 2 1 2 1 3 -5(x-1)-5(y-1)-5(z-2)=0; -5x+5-5y+5-5z+10=0; -5x-5y-5z+20=0; Р1: x+y+z-4=0. Вектор нормали плоскости Р1: N 1={1;1;1}; его длина I N 1I = 3 Угол между плоскостями Р и Р1 найдем как угол межу их нормальными векторами N и N 1. N * N1 0 * 1 1* 1 1* 1 0 cos 0 2 3 2 3 N * N1 x 1 Следовательно, плоскости перпендикулярны. Найдем расстояние от точки Д(-1;2;2) до плоскости Р: y-z+1=0. 0 * 1 1* 2 1* 2 1 1 2 d 2 2 2 Задача 7 В-10 Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать ее канонические и параметрические уравнения. Составить уравнения прямой l1 , проходящей через точку М параллельно прямой l и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р. x 3 y z 8 0 ; M(2;1;1); P: 5x-y-z+1=0. l: 2x y 2z 3 0 Наша прямая задана двумя плоскостями: P1 : x+3y+z-8=0 P2 : 2x+y-2z+3=0 Запишем вектора нормалей для этих плоскостей: N 1={1;3;1} N 2={2;1;-2} Найдем векторное произведение этих векторов: i j k Q N1 N2 1 3 1 7 i 4 j 5k ={-7;4;-5} 2 1 2 Вектор Q препендикулярен векторам N 1 и N 2, следовательно, он параллелен прямой l. Найдем точку пересечения прямой l с координатной плоскостью XOY (z=0) x+3y+z-8=0 x+3y-8=0 x+3y=8 x= -17/5 2x+y-2z+3=0 2x+y+3=0 2x+y=-3 y= 19/5 z=0 z=0 z=0 z=0 Записываем канонические уравнения прямой по направляющему вектору Q и координатам точки К(-17/5;19/5;0) 17 19 x y 5 5 z0; l: 7 4 5 Вводя параметр t, получаем параметрические уравнения прямой: 17 x 7t 5 17 19 x y 19 5 5 z 0 =t; l: y 4t 7 4 5 5 z 5 t Составим уравнения прямой l1 , проходящей через точку М(2;1;1) параллельно прямой l используя в качестве направляющего вектор Q ={-7;4;-5} x 7t 2 x 2 y 1 z 1 l1: ; или l1: y 4t 1 7 4 5 z 5t 1 K: Построим плоскость Р3, проходящую через точку М(2;1;1) перпендикулярно прямой l используя в качестве нормального вектора вектор Q ={-7;4;-5}= N3 Р3: -7(x-2)+4(y-1)-5(z-1)=0; Р3: 7x-4y+5z-15=0; Найдем проекцию точки М на прямую l как точку пересечения прямой l и плоскости Р3. 4 17 x x 7 t 5 5 7 19 K : y 4t y 5 5 z 5t z 3 3 7 x 4 y 5z 15 0 t 5 Прямая l1 перескает плоскость Р3 в точке М. Т.к. Плоскость Р3 перпендикулярна прямым l и l1, то расстояние между ними равно длине отрезка КМ. 2 2 17 19 2 d KM 2 1 0 1 38 5 5 Найдем точку пересечения прямой l и плоскости Р. 23 17 x 34 x 7t 5 25 y y 4t 19 17 G: 99 5 z 5t z 34 99 5 x y z 1 0 t 170