Математика Лекция 5 Аналитическая геометрия 2 Алгебраические поверхности и линии на плоскости первого порядка Опр. Геометрическое место точек в пространстве (на плоскости) определяет плоскость (прямую на плоскости) тогда и только тогда, когда декартовы координаты x, y, z текущей точки М удовлетворяют алгебраическому уравнению первого порядка 3 В пространстве F ( x, y, z ) 0 поверхность На плоскости линия F ( x, y) 0 плоскость прямая Ax By Cz D 0 N ( A, B, C ) Ax By C 0 Введем вектор N N ( A, B) Вектор N называется нормальным вектором (нормалью) плоскости и прямой на плоскости Введем радиус-вектор текущей точки r x, y, z (r , N ) D 0 r x, y (r , N ) C 0 4 Геометрический смысл нормального вектора Задача 1.На плоскости дана точка M 0 (r0 ) M 0 ( x0 , y0 ) и вектор N ( A, B) . Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору. y M0 Рассмотрим текущую точку прямой N r0 0 r М x M (r ) M ( x, y) тогда вектор M 0 M r r0 ( x x0 , y y0 ) лежит на данной прямой. M 0M N (M 0M , N ) 0 (r , N ) (r0 , N ) 0 Ax By ( x0 A y0 B ) 0 (r r0 , N ) 0 A( x x 0 ) B( y y 0 ) 0 5 Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный прямой. 6 Задача 2. В пространстве дана точка M 0 (r0 ) M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и вектор N ( A, B, C ). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. N z M (r ) M ( x, y, z ) M0 r x 0 вектор M 0 M r r0 ( x x0 , y y0 , z z0 ) лежит на плоскости. М r0 Рассмотрим текущую точку прямой y M 0M N (M 0M , N ) 0 (r r0 , N ) 0 A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 (r , N ) (r0 , N ) 0 Ax By Cz ( x0 A y0 B z0C ) 0 7 Нормальный вектор – вектор, перпендикулярный плоскости. 8 Уравнения в отрезках Общее уравнение плоскости Общее уравнение прямой Ax By Cz D 0 на плоскости Ax By C 0 Пусть D 0 тогда y x z 1 D/ A D/ B D/C Обозначим D D D a ,b ,c A B C Получим x y z 1 a b c Z с а Х Пусть C 0 тогда y x 1 C/ A C/B C C a ,b A B x y 1 a b У b b а У О 9 Х Исследование уравнения прямой 1. A 0, B 0, C 0 Ax By C 0 x y 1 a b 2. A 0, B 0, C 0 3. A 0, B 0, C 0 y b О x y Ax By 0, x y b 0, y x a b a By C 0 y b а x О y b О x 10 4. A 0, B 0, C 0 y Ax C 0 xa О 5. A 0, B 0, C 0 Ax 0 а y х=0 x0 x О 6. A 0, B 0, C 0 By 0 y0 x y у=0 О x 11 Исследование общего уравнения плоскости 1. Ax By Cz D 0 Z x y z 1 а a b c Х 2. A 0, B 0, C 0, D 0 с b У Z Ax By Cz 0 O(0,0,0)P У Х 12 3а. A 0 P||OX 3б. B 0 P||OY 3в. C 0 P||OZ By Cz D 0 y z 1 b c b У Х Ax Cz D 0 x z 1 a c Ax By D 0 x y 1 a b Z с Z с а У Х Z b а У Х 13 4а. A 0, B 0 Cz D 0 P||XOY 4б. A 0, C 0 By D 0 P||XOZ 4в. Ax D 0 B 0, C 0 Z P||YOZ У Х 14 Z 5а. B 0, C 0, D 0 x0 плоскость YOZ 0 Х У Z 5б. A 0, C 0, D 0 y0 плоскость XOZ 0 У Х 5в. A 0, B 0, D 0 z 0 плоскость XOY Z 0 У Х 15 Параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве l . Записать уравнение Дана точка M 0 и вектор прямой, проходящей через эту точку параллельно вектору l . Опр. Вектор, параллельный У данной прямой или лежащий М0(х0,у0) на этой прямой, называется l (m, n) направляющим вектором r0 М(х,у) прямой. r О M 0M t l r r0 t l r r0 t l , где t – параметр 16 Х M 0 M || l Прямая на плоскости M 0 ( x0 , y 0 ) l (m, n) x x 0 tm y y 0 tn Прямая в пространстве M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) l (m, n, p ) x x 0 tm y y 0 tn z z tp 0 17 Каноническое уравнение прямой на плоскости и в пространстве Если исключить параметр t из параметрического уравнения, то получим каноническое уравнение прямой. на плоскости x x0 y y 0 m n в пространстве x x0 y y 0 z z 0 m n p 18 Уравнение прямой проходящей через две точки М1 и М2 на плоскости в пространстве M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x 2 , y 2 ) M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) M ( x, y, z ) M ( x, y ) l M 1M 2 M 1 M 2 ( x 2 x1 , y 2 y1 ) M 1 M 2 ( x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 ) x x1 y y1 x 2 x1 y 2 y1 x x1 y y1 z z1 x 2 x 1 y 2 y1 z 2 z 1 19 Параметрическое уравнение плоскости Дана точка M 0 (r0 ) и два неколлинеарных вектора a и b Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 параллельно векторам a и b . z Векторы M 0 M , a , b компланарны, a линейно зависимы один из b M0 них является линейной М r0 комбинацией остальных, т.е. r 0 x y p, q – параметры r r0 pa qb r r0 pa qb x x 0 pa1 qb1 , или y y 0 pa 2 qb2 , z z 0 pa 3 qb3 . 20 Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам Т.к. векторы ( r r0 , a , b ) 0 M 0M , a, b компланарны, то x x0 a1 y y0 a2 z z0 b1 b2 b3 a3 0 21 Уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) Векторы M1 M2 М M3 M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) M 1M M 1M 2 M 3 ( x3 , y 3 , z 3 ) M 1M 3 компланарны M M ,M M ,M M 0 1 1 2 1 3 x x1 y y1 z z1 x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 0 x 3 x1 y 3 y1 z 3 z1 22