Геометрическое изображение комплексных чисел Комплексное число z = х + уi может быть изображено на плоскости точкой М (х;у) или радиус-вектором точки М (х;у). Такая плоскость называется комплексной плоскостью. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел, если в них положить у = 0, они изображаются точками на действительной оси Ох. Если у комплексного числа z = х + уi действительная часть равна нулю, т.е.х = 0, то это число называется чисто мнимым числом, оно изображается точкой на мнимой оси Оу. Тригонометрическая форма комплексного числа Длина вектора r , изображающего комплексное число z x yi , называется модулем этого числа и обозначается |z| или r: r z x2 y 2 . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Аrg z или φ. y y tg ⟹ arctg . x x Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк, где arg z = φ – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π], то есть -π < φ ≤ π, y arctg x , для точек I и IV четверти, y arctg , для точек II четверти, x y arctg x , для точек III четверти. x r cos Так как , то z x yi r cos r sini y r sin или z r (cos i sin ) тригонометрическая форма комплексного числа. Над комплексными числами в тригонометрической форме можно выполнять действия: 1) Умножение При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме перемножаются их модули, а аргументы складываются: z1z2 r1r2 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) . 2) Деление При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме перемножаются их модули, а аргументы складываются: z1 r 1 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) , z 2 r2 3) Возведение в степень При возведении комплексного числа в n-ю степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра): z n r n (cosn i sin n ) . 4) Извлечение корня n z n r (cos 2k n i sin 2k n ) , k = 0, 1, 2,…(n - 1).