Контрольная работа №3 Вариант 2 2. Найти неопределённые интегралы: а) (4 1 1 1 x3 2 2 x 1 ) dx 4 dx dx x dx dx 4 x tgx xC 2 cos 2 x 2 3 2 cos 2 x 6x 2 x 1 t б) (6 x 2 x 1)' dx t ' dt 12 x 1 dt 2 6 x 2 x 1dx (12 x 1)dx dt t In t C In 6 x x 1 C в) x ln xdx = интегрирование по частям ud u du u Inx du 1 dx x 1 2 d x dx x dx 2 x x 3 = 2 x x Inx 2 x x 1 dx 2 x x Inx 2 x dx 2 x x Inx 4 x x C 3 3 x 3 3 3 9 12. Вычислить определенные интегралы с точностью до 10-2. x4 t 1 1 dt 1 1 x а) 8 dx 4 2 dx 4 x 3 dx dt 42 1 2dt 1 arctg t 4 0 t 1 4 1 0 0 x 1 0 (x ) 1 0 t 1 x 3 dx dt 4 x0t 0 1 x 1 3 3 x 1 t 1 1 1 = arctg1 arctg 0 0 0,20 4 4 4 0 б) 2 dx x 2 2x 4 0 1 d ( x 1) ( x 1) 2 3 16 In x 1 ( x 1) 2 3 0 2 In 1 4 In 1 4 In3 In1 In3 1,10 22. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость. 4 х 1 ln x dx 2 1 Решение: Inx t 1 Inb b Inb dx dt 4 4 x lim 4 arct t lim dt lim dx 2 b b b х 1 t 2 0 х 1 ln x x 1 t 0 1 0 x b t Inb lim 4arctg Inb 4arctg 0 4 b 2 0 2 несобственный интеграл сходится. Ответ: несобственный интеграл сходится и равен 2π. 32. Найти общее решение дифференциального уравнения. 2 а) y cos x y tgx Запишем уравнение в виде: y 1 tgx - линейное дифференциальное уравнение первого y 2 cos x cos 2 x порядка Решим методом Бернулли Пологая y u y ' u ' u ' , получим: u' u ' 1 tgx u 2 cos x cos 2 x u' ' 1 tgx u 2 cos x cos 2 x 1 ' cos 2 x 0 tgx u ' cos 2 x 1 cos 2 x d 1 dx d cos 2 x ' 2 d 1 dx d cos 2 x In tgx e tgx u 'e tgx => u' u tgx cos 2 x tgx e tgx 2 cos x tgx e tgx dx 2 cos x tgx t 1 dx dt cos 2 x u t e t dt u t du dt d e t dt e t u te t e t dt te t e t C u tgx e tgx e tgx C Итак, y u tgx e tgx e tgx C e tgx y tgx 1 C e tgx Ответ: y tgx 1 C e tgx б) y 2 yy Понизим порядок дифференциального уравнения, так как дифференциальное уравнение не содержит независимой переменной, то положим y’=z(y), тогда y ' ' z dz dy Уравнение примет вид: z dz 2 y z - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными dy zdz 2 yzdy z (dz 2 ydy ) 0 z 0 или dz 2 ydy dz 2 ydy 3 z y 2 C1 y' 0 y ' y 2 C1 yC dy dx y C1 y 2 1 C1 2 dy dx C1 y arctg C1 y C1 y arctg C1 x C2 C1 ( x C 2 ) tg C1 ( x C2 ) y C1 tg C1 ( x C2 ) Ответ: y C1 tg C1 ( x C2 ); y C 42. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям. y 16 y 32e 4 x , y 0 2 , y 0 0 . Характеристическое уравнение k2+16=0 k2+16 => k=±4i – комплексно-сопряженные корни общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: y e ox (C1 cos 4 x C2 sin 4 x) yoo C1 cos 4 x C2 sin 4 x Частное решение ищем в виде (a+bi=4+0i=4 не является корнем характер уравнения): y Ae 4 x y ' 4 Ae 4 x y ' ' 16 Ae 4 x y ' '16 y 16 Ae 4 x 16 Ae 4 x 32 Ae 4 x 32e 4 x 32 A 32 A 1 Таким образом, y e 4 x 4 Общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения: y yoo y , то есть: y C1 cos 4 x C2 sin 4 x е 4 x Используя начальные условия, найдем С1 и С2 y (0) 2 2 C1 cos 4 * 0 C2 sin 4 * 0 е 4*0 2 C1 1 C1 1 y' 4C1 sin 4 x 4C2 cos 4 x е 4 x y ' (0) 0 0 4C2 4 C2 1 Исходное частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид: y cos 4 x sin 4 x е 4 x Ответ: y cos 4 x sin 4 x е 4 x 52. Решить задачи: 1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь две окрашенные грани. Решение: Обозначим событие А – извлеченный кубик будет иметь 2 окрашенные грани. Вероятность события А находим по классическому определению: Р( А) m n где m – число благоприятствующих исходов событию А. n – общее число возможных исходов. n=1000 (всего 1000 кубиков) 8 кубиков имеют 3 окрашенные грани 8*12=96 кубиков имеют две окрашенные грани 5 где 12 – это ребра кубика => Р( А) 96 0,096 1000 Ответ: 0,096 2. На железобетонном заводе изготовляют панели, 90 % из которых – высшего сорта. Какова вероятность того, что из трёх наугад выбранных панелей высшего сорта будут: а) три панели; б) хотя бы одна панель; в) не более одной панели? Решение Вероятность выбрать одну панель высшего сорта Решение: р 90% 0,9 100% q 1 p 1 0,9 0,1 – вероятность выбрать панель другого сорта Используя формулу Бернулли: Pn (m) C nm * p m * q n m a) Из трех панелей (n=3) три панели – высшего сорта (m=3): P3 (3) p 3 0,9 3 0,729 б) Хотя бы одна панель высшего сорта – противоположное событие – все панели не высшего сорта P3 (0) q 3 0,13 0,001 Вероятность того, что хотя бы одна панель высшего сорта 1-0,001=0,999 в) Событие А – не более одной панели, значит 0 или 1 Тогда P( А) P3 (0) P3 (1) P( А) 0,001 C31 * 0,91 * 0,12 0,001 3 * 0,9 * 0,01 0,028 3. Детали попадают на обработку на один из трёх станков с вероятностями, соответственно равными: 0,2; 0,3; 0,5. Вероятность брака на первом станке равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,01. Найти: а) вероятность того, что случайно 6 взятая после обработки деталь – стандартная; б) вероятность обработки наугад взятой детали на втором станке, если она оказалась стандартной. Решение: а) Обозначим: Событие А – случайно взятая деталь оказалась стандартной Гипотезы: Н1 – деталь обработана 1-ым станком Н2 – деталь обработана на 2-ом станке Н3 – деталь обработана на 3-ем станке По условию Р( Н1 ) 0,2 ; Р( Н 2 ) 0,3 ; Р( Н 3 ) 0,5 Вероятность, что деталь 1-го станка стандартная: Р( А / Н1 ) 1 0,02 0,98 2-го станка: Р( А / Н 2 ) 1 0,03 0,97 3-го станка: Р( А / Н 3 ) 1 0,01 0,99 По формуле полной вероятности: Р( А) Р( Н1 ) * Р( А / H1 ) Р( Н 2 ) * Р( А / H 2 ) + Р( Н 3 ) * Р( А / H 3 ) => Р( А) 0,2 * 0,98 0,3 * 0,97 0,5 * 0,99 0,982 б) Вероятность обработки наугад взятой детали на втором станке, если она оказалась стандартной найдем по формуле Байеса Р( Н 2 / A) P( H 2 ) * P( A / H 2 ) P( H 1 ) * P( A / H 1 ) P( H 2 ) * P( A / H 2 ) P( H 3 ) * P( A / H 3 ) => Р( Н 2 / A) 0,3 * 0,97 0,296 0,982 Ответ: P(a) 0,982; Р( Н 2 / A) 0,296 4. В семье четверо детей, принимая равновероятным рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что мальчиков в семье: а) три; б) не менее трех; в) два. Решение: 1 2 Вероятность рождения мальчика р , девочки q 1 , n=4 2 7 По формуле Бернулли: Pn (m) C nm * p m * q nm а) вероятность того, что в семье 3 мальчика (m=3): 3 1 1 1 1 P4 (3) C 43 * 4 0,25 16 2 2 б) вероятность того, что в семье не менее 3 мальчиков (3 или 4) равна: 4 1 P4 (3) Р4 (4) 0,25 0,25 0,0625 0,3125 2 в) вероятность того, что в семье два мальчика (m=2): 2 2 4*3 1 1 1 P4 (2) C * * 0,375 1 * 2 16 2 2 2 4 Ответ: а) 0,25; б) 0,3125; в) 0,375. 8 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1 Геворкян, П.С. Высшая математика для экономистов / П.С. Геворкян и др. - М.: Экономика, 2010. - 351 c. 2 Дорофеева, А.В. Высшая математика для гуманитарных направлений. Сборник задач: Учебно-практическое пособие / А.В. Дорофеева. - М.: Юрайт, 2013. - 175 c. 3 Ильин, В.А. Высшая математика: Учебник / В.А. Ильин, А.В. Куркина. М.: Проспект, 2012. - 608 c. 4 Колесов, В.В. Высшая математика: мини-справочник для экономистов / В.В. Колесов. - РнД: Феникс, 2014. - 125 c. 5 Кузнецов, А.В. Высшая математика. Математическое программирование / А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод. - СПб.: Лань, 2013. - 352 c. 9