Задача 1 Решение (x+2)4+x4=82 (x+2)4+x4-82=0 Произведем замену переменных. Пусть t=x+1 В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение. (t+1)4+(t-1)4-82=0 (t4+4t3+6t2+4t+1)+(t4-4t3+6t2-4t+1)-82=0 t4+4t3+6t2+4t+1+t4-4t3+6t2-4t+1-82=0 2t4+12t2-80=0 t4+6t2-40=0 Произведем замену переменных. Пусть z=t2 В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение. z2+6z-40=0 D=b2-4ac=62-4·1(-40)=196 Error! Error!; Error! Ответ вспомогательного уравнения: Error! В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению t2=-10 ;t2=4 решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай 1 . t2=-10 ответ этого случая: нет решений Случай 2 . t2=4 ответ этого случая: Error! Ответ вспомогательного уравнения: Error! В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению x+1=-2 ;x+1=2 решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай 1 . x+1=-2 x=-2-1 x=-3 Случай 2 . x+1=2 x=2-1 x=1 Окончательный ответ: Error! Задача 2 Воспользуемся тождеством: A3+B3+C3=(A+B+C)(A2+B2+C2-AB-AC-BC)+3ABC. Отсюда сразу следует, что если A+B+C делится на 6, то A3+B3+C3 сравнимо по модулю 6 с 3ABC. Нам осталось доказать, что 3ABC делится на 6, а это равносильно тому, что ABC четно. А ABC действительно четно: в противном случае все три числа A, B и C были бы нечетными, и их сумма тоже была бы нечетной и не могла бы делиться на 6?! ч.т.д. Задача 3 Задача 4 Обозначим искомое число за 1000a+100b+10c+d. По условию задачи имеем: 4(1000a+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+a. Так как левая часть – число четное, то и правая часть – число четное, поэтому a– четная цифра. Тогда a=2, так как в других случаях получим в левой части пятизначное число. Так как 4d оканчивается на 2, то d=8. В итоге имеем: 4(1000·2+100b+10c+8)=1000·8+100c+10b+2. Тогда 4(10b+c)+3=10c+b или 40b+4c+3=10c+b. После упрощения получим: 13b+1=2c. Решением данного уравнения будут: b=1,c=7. Тогда искомое число будет 2178. Ответ: 2178 Задача 5 Доказательство. Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника никакие две стороны не параллельны. Задача 6 Задача 7 Докажем, что (4n + 15n - 1) (1) делится на 9 с помощью метода математической индукции. База индукции: При n = 1, 4n + 15n - 1 = 4 + 15 - 1 = 18, которое делится на 9. Проверено. Переход: Пусть (1) выполняется при n = k. Докажем, что оно выполняется при n = k + 1: 4k +1 + 15(k + 1) - 1 = 4 · 4k + 15k - 14 = 4k + 15k - 1 + 3 · 4k + 15. Согласно условию перехода 4k + 15k - 1 делится на 9, осталось показать, что 3 · 4k + 15 делится на 9. Заметим, что 3 · 4k + 15 = 3(4k + 5) (2). К тому же 4 1 (mod 3); 4k 1 (mod 3); 4k + 5 6 (mod 3), что означает, что 4k + 5 делится на 3, а (2) на 9. Переход доказан, значит (4n + 15n - 1) делится на 9. Что и требовалось доказать. Задача 8 Задача 9 a = 1 - 2b, подставляем в формулу y = ab = (1 - 2b)*b = b - 2b^2 = -2b^2 + b Ветви параболы направлены вниз. Максимум находится в вершине b0 = -b'/(2a'). Здесь -b'/(2a') - это не те b и a, которые в формуле, а коэффициент квадратного уравнения a'*x^2 + b'*x + c' = 0 a' = -2 (коэффициент при квадрате), b' = 1 (коэффициент при b, которое в формуле), c' = 0 b0 = -1/(2(-2)) = 1/4 a0 = 1 - 2*b0 = 1 - 2/4 = 1/2 Максимум ab = a0*b0 = 1/2*1/4 = 1/8=0,125 Задача 10 Скорость можно определить сразу: для проезда мимо платформы поезду потребовалось 25-7=18 (с). Следовательно, его скорость 378:18=21 (м/с), длина его 21· 7=147 (м). Ответ: 21 (м/с), 147 (м).