ВЫПОЛНИЛА Фамилия Набиуллина Имя Индира Отчество Римовна Класс 11 Район Бураевский Город с.Бураево ОУ МОБУ Гимназия №2 ФИО учителя Гималтдинова Раузина Рашитовна 1. Найдите действительные корни уравнения (х + 2) 4 + х 4 = 82. Решение: Обозначим х + 1 = у, тогда х + 2 = у + 1, х = у – 1. Исходное уравнение примет вид (у + 1) 4 + (у – 1) 4 = 82. у 4 + 6у 2 – 40 = 0, откуда у 2 = - 10 (это уравнение не имеет корней) или у 2 = 4. Тогда у = - 2 или у = 2. Следовательно, х + 1 = - 2 или х + 1 = 2. В итоге получаем корни 1 и – 3. Ответ: - 3 и 1. 2. A+B+C делится на 6. Доказать, что A3+B3+C3 делится на 6. Решение №1: Рассмотрим, какие остатки могут давать точные кубы по модулю 6. Рассматривая всевозможные остатки, получаем, что каждое число сравнимо с собственным кубом по модулю 6 (легче проверить отдельно, что N сравнимо с N3 по модулю 2 и по модулю 3). Тогда сумма трех чисел сравнима по модулю 6 с суммой их кубов. Первая сумма делится на 6, тогда и вторая делится на 6, ч.т.д. Решение №2: Воспользуемся тождеством: A3+B3+C3=(A+B+C)(A2+B2+C2-AB-AC-BC)+3ABC (как его вывести, это отдельный алгебраический вопрос). Отсюда сразу следует, что если A+B+C делится на 6, то A3+B3+C3 сравнимо по модулю 6 с 3ABC. Нам осталось доказать, что 3ABC делится на 6, а это равносильно тому, что ABC четно. А ABC действительно четно: в противним случае все три числа A, B и C были бы нечетными, и их сумма тоже была бы нечетной и не могла бы делиться на 6?! ч.т.д. 2 3. Дискриминант квадратного уравнения x 2 x sin( xy) 1 0 Д= 4 sin2(xy) -4 = - 4 cos2(xy) < 0 , отсюда (sin(xy) ) =1, х=+ 1 Обозначим искомое число за 1000a+100b+10c+d. По условию задачи имеем: 4. . 4(1000a+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+a. Так как левая часть – число четное, то и правая часть – число четное, поэтому a– четная цифра. Тогда a=2, так как в других случаях получим в левой части пятизначное число. Так как 4d оканчивается на 2, то d=8. В итоге имеем: 4(1000·2+100b+10c+8)=1000·8+100c+10b+2. Тогда 4(10b+c)+3=10c+b или 40b+4c+3=10c+b. После упрощения получим: 13b+1=2c. Решением данного уравнения будут: b=1,c=7. Тогда искомое число будет 2178. Ответ: 2178 5. Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника никакие две стороны не параллельны. Доказать, что (4n + 15n - 1) делится на 9, если n N. 7. Докажем, что (4n + 15n - 1) (1) делится на 9 с помощью метода математической индукции. База индукции: При n = 1, 4n + 15n - 1 = 4 + 15 - 1 = 18, которое делится на 9. Проверено. Переход: Пусть (1) выполняется при n = k. Докажем, что оно выполняется при n = k + 1: 4k +1 + 15(k + 1) - 1 = 4 · 4k + 15k - 14 = 4k + 15k - 1 + 3 · 4k + 15. Согласно условию перехода 4k + 15k - 1 делится на 9, осталось показать, что 3 · 4k + 15 делится на 9. Заметим, что 3 · 4k + 15 = 3(4k + 5) (2). К тому же 4 1 (mod 3); k 4 1 (mod 3); k 4 + 5 6 (mod 3), что означает, что 4k + 5 делится на 3, а (2) на 9. Переход доказан, значит (4n + 15n - 1) делится на 9. Что и требовалось доказать. 8. xy=1, если х=1 и у=1 значит соs^z=0. z = + π /2 + πn или при х=-1 и у=-1, то соs^z=4 нет решения так как значение соs^z от -1 до 1. 9. а=1-2b. Тогда ab=b-2b^2 Производная равна нулю: (ab)’=1-4b=0 Откуда b=0.25 и a=0.5 Произведение ab=0.125 1 = a + 2b ≥ 2√(2ab) ab(max) = 1/8 при a = 2b = ½ 10. Пусть x (м) – длина поезда, y (м/с) – его скорость. Тогда x/y=7 и (x+378)/y=25 , откуда x=147 (м), y=21 (м/с). Скорость можно определить и сразу: для проезда мимо платформы поезду потребовалось 25-7=18 (с). Следовательно, его скорость 378:18=21 (м/с), длина его 21· 7=147 (м). Ответ: 21 м/с, 147 м.