Применение интегралов в науке и технике

Применение интегралов
в науке и технике
Выполнил студент группы И3-14
Андреев Роман
Содержание:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Определение интеграла
Интеграл в древности
Зачем нужны интегралы?
Применение в науке
Применение в технике
Заключение
Список используемых источников
Определение
Интеграл функции — аналог суммы бесконечно большого
количества бесконечно малых слагаемых. В простейшем случае
имеется в виду разбиение области интегрирования, являющейся
отрезком, на бесконечно малые отрезки, и сумма произведений
значения функции аргумента, принадлежащего каждому отрезку, и
длины соответствующего бесконечно малого отрезка области
интегрирования, в пределе, при бесконечно мелком разбиении:
Интеграл в древности
•
•
•
Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 г.
до н. э. Московский математический папирус демонстрирует знание формулы
объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов
является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался
найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для
которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит
Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближённого
расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в
Китае в 3-м веке н. э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения
площади круга. Этот метод впоследствии использовали Цзу Чунчжи и Цзу
Гэн для нахождения объёма шара.
Следующий крупный шаг в исчисление интегралов был сделан в Ираке, в XI
веке, математиком Ибн ал-Хайсамом (известным как Alhazen в Европе), в своей
работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению
четвёртой степени. Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные
вычислению определённого интеграла, чтобы найти объём параболоида.
Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для
интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок
к поиску общей формулы для интегралов от полиномов, но он не касается любых
многочленов выше четвёртой степени.
Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь
в XVI веке. В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в
работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления.
Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли,
которые указали на связь между интегрированием и дифференцированием.
Зачем нужны интегралы?
Ученые стараются все физические явления выразить в
виде математической формулы. Как только у нас есть
формула, дальше уже можно при помощи нее
посчитать что угодно. А интеграл — это один из
основных инструментов работы с функциями.
Например, если у нас есть формула круга, мы можем
при помощи интеграла посчитать его площадь. Если у
нас есть формула шара, то мы можем посчитать его
объем. При помощи интегрирования находят
энергию, работу, давление, массу, электрический
заряд и многие другие величины.
Применение в науке
Все процессы в природе, в которых постоянно
меняются какие-то параметры, например время,
температура, давление, координаты, изучаются и
вычисляются только с помощью дифференциального и
интегрального исчисления. Интегралы при этом только
азы. Без них не вычислишь даже площадь какой-либо
криволинейной поверхности. Математика вообще
развивает логическое мышление, что всем полезно.
Конечно, они забываются, если эти знания по жизни не
востребованы. Но это не значит, что их вообще не
нужно изучать.
При обучении важно понять смысл мат. аппарата в
целом и научиться применять его к решению
бытовых задач, выработать определенный стиль
мышления при котором ты не будешь полагаться
на интуицию при принятии каких-то решений, а
сможешь точно оценить результат и следствия
поступков. Большинство интегралов получены как
мат. модели каких-либо естественных процессов в
рамках медицины, биологии, химии, экономики, и
т.д. Конкретно математический анализ, внутри
которого выводятся методы решения интегралов,
помогает понять откуда что взялось.
Применение в технике
Так же интегралы нашли себе широкое применение в
технике. Например в ПИД-регуляторе с использованием
его интегральной составляющей. Её используют для
устранения статической ошибки. Она позволяет
регулятору со временем учесть статическую ошибку.
Вот примерный принцип работы интегральной
составляющей. Интегрирующая составляющая
пропорциональна интегралу по времени от отклонения
регулируемой величины. Её используют для устранения
статической ошибки. Она позволяет регулятору со временем
учесть статическую ошибку.
Если система не испытывает внешних возмущений, то через
некоторое время регулируемая величина стабилизируется на
заданном значении, сигнал пропорциональной
составляющей будет равен нулю, а выходной сигнал будет
полностью обеспечиваться интегрирующей составляющей.
Тем не менее, интегрирующая составляющая также может
приводить к автоколебаниям при неправильном выборе её
коэффициента.
Заключение
В результате работы над презентации, мы
узнали что применение интегралов очень
широко. Интегралы применяют как в науке, для
вычисления каких-либо данных, так и в
технике, в различных роботизированной
технике.
Список используемых источников
• https://ru.wikipedia.org/wiki
• http://dic.academic.ru/
• http://mathus.ru/