Программа по математическому анализу. 2 курс, 3 семестр. 0. Ряды Фурье. 1. Некоторые сведения о периодических функциях. Теорема о значениях интеграла от периодической с периодом Т функции. 2. Коэффициенты Эйлера-Фурье и ряд Фурье. 3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. 4. Основная теорема о сходимости тригонометрических рядов Фурье. 5. Разложение функций, заданных на сегменте [0,L], в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам. 6. Комплексная форма записи ряда Фурье. 7. Интеграл Фурье. 8. Комплексная форма записи интеграла Фурье. А. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра. 1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Критерий Коши таких интегралов. 2. Абсолютная сходимость несобственных интегралов 1-го рода, теоремы сравнения. Условная сходимость несобственных интегралов 1-го рода, теорема Абеля-Дирихле. 3. Интегралы от неограниченных функций с конечными пределами интегрирования (несобственные интегралы 2-го рода). Критерий Коши таких интегралов. Теоремы о сходимости несобственных интегралов 2-го рода. 4. Главное значение расходящегося интеграла. 5. Собственные интегралы, зависящие от параметра и их свойства: теорема о непрерывности по параметру; теорема о дифференцируемости по параметру; теорема о дифференцируемости по параметру в случае, когда пределы интегрирования зависят от параметра; теорема об интегрируемости по параметру. 6. Класс несобственных интегралов, зависящих от параметра и содержащих ограниченную подынтегральную функцию. 7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра и их равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов зависящие от параметра 1-го и 2-го рода. Мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра 1-го рода. 8. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра: непрерывность по параметру; дифференцируемость по параметру; интегрируемость по параметру. 9. Классы несобственных интегралов, зависящих от параметра, вычисляемые с помощью дифференцирования и интегрирования по параметру: интеграл Дирихле, интеграл ПуассонаЭйлера, интегралы Френеля, интегралы Фрулани.? 10. Гамма-функция Эйлера и её свойства. 11. Бета-функция Эйлера и её свойства: симметричность, формула понижения, связь между гамма и бета функциями, формула дополнения. Б. Кратные интегралы. 1. Квадрируемые фигуры, свойства площадей. Кубируемые фигуры, свойства объёмов. 2. Определение двойного интеграла и условия его существования. 3. Определение тройного интеграла и условия его существования. 4. Классы интегрируемых функций и свойства двойных и тройных интегралов. 5. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области. Вычисление тройного интеграла в случае прямоугольного параллелепипеда. 6. Вычисление двойных и тройных интегралов в случае криволинейных областей. 7. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве. 8. Площадь в криволинейных координатах. Объём в криволинейных координатах. 9. Замена переменных в двойных и тройных интегралах. 10. Приложения двойных и тройных интегралов: вычисление площадей и объёмов; вычисление массы тела переменной плотности; вычисление координат центра масс пластины и тела; притяжение материальной точки телом. В. Криволинейные и поверхностные интегралы. 1. Криволинейные интегралы 1-го рода и их свойства. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. 2. Криволинейные интегралы 2-го рода и их свойства. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. 3. Формула Грина (связь двойных и криволинейных интегралов). 4. Условие независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути. 5. Приложения криволинейных интегралов. 6. Сведения из дифференциальной геометрии поверхностей: определение поверхности; способы задания поверхностей; нормальный вектор к поверхности; первая квадратичная форма поверхности. 7. Площадь поверхности. 8. Поверхностные интегралы 1-го рода и их свойства. 9. Ориентация поверхности и поверхностные интегралы 2-го рода. 10. Вычисления поверхностных интегралов 2-го рода. 11. Формула Остроградского-Гаусса. 12.Формула Стокса. 13. Условия независимости криволинейного интеграла от пути в пространстве. Г. Основы векторного анализа. 1. Скалярные поля. Поверхности уровня. Градиент и производная по направлению. 2. Векторные поля. Векторные (силовые) лини и векторные трубки. Потенциальное векторное поле. 3. Ротор векторного поля. Формула Стокса. 4. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса. 5. Соленоидальное векторное поле. 6. Дифференциальные операции с оператором Гамильтона. 7. Оператор Гамильтона в ортогональной криволинейной системе координат. 8. Дивергенция в ортогональной криволинейной системе координат. 9. Ротор в ортогональной криволинейной системе координат. Д. Основы тензорного анализа. 1. Аффинное пространство. Определение одновалентного ковариантного и контравариантного тензора. 2. Определение общего тензора. Алгебраические операции над тензорами: сложение, умножение тензоров, свёртывание тензоров; перестановка аргументов у фиксированного тензора; симметрирование и альтернирование тензоров по группе аргументов. 3. Евклидовы и псевдоевклидовы пространства. Тензоры в евклидовом и псевдоевклидовом пространстве. 4. Тензорное поле. Криволинейная система координат в евклидовом пространстве. 5. Символы Кристоффеля для метрического тензора. 6. Параллельный перенос и ковариантная производная. 7. Смысл ковариантной производной в 3-х мерном евклидовом пространстве.
