О вычислении сингулярных интегралов с весом Якоби

Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета»
Выпуск 2006 ▪ www.omsk.edu
С.Д. Симонженков
Омский государственный педагогический университет
О вычислении сингулярных интегралов с весом Якоби
01.01.01 – математический анализ
А
В работе приводится метод приближенного вычисления сингулярных интегралов, использующий
идею замены функции плотности на частичную сумму полиномов Чебышева. Процедура вычислений
носит рекуррентный характер, позволяющий применить алгоритм Кленшо. Дается оценка погрешности при условии абсолютной сходимости некоторого ряда, составленного из коэффициентов ряда полиномов Чебышева, приближающего функцию плотности.
Введение. В практике решения интегральных уравнений приходится вычислять интегралы
1
I = I ( f | x) = ∫ w(t ) f (t )(t − x) −1 dt , − 1 < x < 1 ,
(1)
−1
понимаемые в смысле главного значения Коши. С точки зрения приложений, наиболее
важными являются случаи весовой функции w(t ) = 1 или w(t ) = (1 − t 2 ) −1 / 2 , в которых получено наибольшее число результатов. В этих и во многих других случаях основными
средствами для вычисления интегралов (1) являются квадратурные формулы; достаточно
большой перечень соответствующих работ можно найти в обзоре [1]. Популярен и следующий подход, описанный, например, в [2], основанный на замене плотности f (t ) равномерно сходящейся последовательностью некоторых «удобных» функций. Так, если система многочленов p n (t ) ортогональна на [–1, 1] с весом w(t ) и f (t ) разлагается в ряд по
этим многочленам, то для отрезка ряда
N
f N (t ) = ∑ c n p n (t )
n =0
выражение
I N = I ( f N x) =
N
∑ c q ( x),
n n
n =0
в котором
1
∫
qn ( x) = w(t ) pn (t )(t − x) −1 dt ,
−1
дает приближение для интеграла (1). При этом часто удается явно выписать погрешность
RN = I − I N
(2)
или установить ее асимптотику или оценку. Как правило, интегралы q n (x) удовлетворяют
некоторым трехчленным линейным однородным рекуррентным соотношениям, что дает
возможность вычислять I N с помощью известного алгоритма Кленшо (см. о нем, например, [3. С. 44]).
Формулировка и обоснование результатов. Здесь описанная идея используется для
вычисления интегралов (1) с весом Якоби
w(t ) = (1 − t )α (1 + t ) β , α , β > −1,
(3)
а роль многочленов p n (t ) играют многочлены Чебышева 1-го рода Tn (t ) . Они, вообще
говоря, не ортогональны с весом (3), поэтому разностное уравнение для интегралов
1
t n = t n ( x) = ∫ w(t )Tn (t )(t − x) −1 dt , n ≥ 0
−1
не будет однородным, тем не менее суммирование Кленшо сохранится.
Пусть f (t ) разлагается в равномерно сходящийся ряд
∞
f (t ) = ∑ c nTn (t ) , − 1 ≤ t ≤ 1 .
n =0
Обозначим
1
γ = ∫ w(t )T0 (t )dt = 2α + β +1 Γ(α + 1)Γ( β + 1) / Γ(α + β + 2) ,
−1
a n = 2(α − β ) / (α + β + 2 + n) ,
bn = (α + β + 2 − n) / (α + β + 2 + n) .
Укажем способ вычисления
N
I N = ∑ cn t n
n =0
для заданных x, N , c0 , ..., c N . Алгоритм состоит из следующих шагов. Сначала при на-
чальных условиях
rN +1 = rN + 2 = 0 , s N +1 = s N + 2 = 0 счетом назад найти
rn = 2 xrn+1 − rn+ 2 + cn , sn = −an sn+1 − bn+1sn+ 2 + rn+1.
Затем вычислить
I N = (r0 − xr1 )t 0 + γ (2s 0 + a 0 s1 − r1 ) .
Оказывается, что при условии
∑c
k ≥1
ка
RN ≤
(4)
k < ∞ для погрешности (2) имеет место оцен2
k
∑c
k
(γ k 2 + t 0 ).
(5)
k >N
Ниже приводится обоснование (4) и (5).
Используя связь между тремя соседними многочленами Чебышева, из определения
t n получим
t n +1 − 2 xt n + t n−1 = 2 f n , n ≥ 1,
где
1
∫
f n = w(t )Tn (t )dt.
−1
Далее воспользуемся одним результатом работы [4], согласно которому интегралы
удовлетворяют рекуррентному соотношению
fn
f n+1 + an f n + bn f n−1 = 0 , n ≥ 1,
в котором коэффициенты определены выше. Поэтому
IN =
N
∑ (r
n
− 2 xrn+1 + rn+ 2 )t n = (r0 − 2 xr1 )t 0 + r1t1 + 2
n =0
N −1
∑r
n +1 f n ,
n =1
или
I N = (r0 − 2 xr1 )t 0 + r1t1 − 2r1 f 0 + 2S N ,
где
N
S N = ∑ rn +1 f n
n =0
находится суммированием Кленшо:
S N = s 0 f 0 + s1 ( f 1 + a 0 f 0 ) .
Подставляя сюда f 0 = γ , f1 = γ ( β − α ) / (α + β + 2), а в выражение I N t1 = γ + xt0 , после несложных преобразований получим равенство (4).
Далее выведем оценку (5). Имеем
1
1
∑ ∫
∫
ak [ w(t ) Ak (t , x)dt + Tk ( x) w(t )(t − x) −1 dt ],
RN =
k>N
−1
(6)
−1
где
Ak (t , x) = [Tk (t ) − Tk ( x)] / (t − x) .
Но такие функции линейно выражаются через Tk (t ) , Tk ( x) (см. [3. С. 93]). Используя эту
Tk (t ) ≤ 1, Tk ( x) ≤ 1
связь и неравенства
для
t , x ∈ [−1, 1] ,
нетрудно вывести, что
Ak (t , x) ≤ k . Отсюда из (6) следует (5).
2
Примеры. Таким образом, указанный алгоритм позволяет свести нахождение I N к
вычислению интеграла t 0 , который известным образом выражается через гипергеометрическую функцию Гаусса F (a, b; c; z ) – см., например, [5. С. 177]. В рассматриваемых ниже
примерах мы ограничились случаями, когда параметры веса принимают лишь значения 0
или
–1/2 или 1/2. Соответствующие значения γ ,t 0 указаны ниже.
Таблица 1
Значения γ = 2
β \α
–½
–½
0
½
π
α + β +1
Γ(α + 1)Γ( β + 1) / Γ(α + β + 2)
0
½
π
3
22
2
3
22
π
5
2 2 /3
π /2
5
2 2 /3
Таблица 2
1
Значения t 0 = ∫ (1 − t )α (1 + t ) β (t − x) −1 dt ,
x <1
−1
β /α
–1/2
0
1/2
1
–1/2
− 2 2 arthy / y ,
0
y = ((1 + x) / 2)
1
1
0
2 2 arthy / y ,
y = ((1 − x) / 2)
1
2
−π
2
− 23 / 2 (1 − yarthy ) ,
− 2arthx
y = ((1 − x) / 2)1 / 2
3
1/2
π
2 2 (1 − y arthy ) ,
y = ((1 + x) / 2)
1
−π x
2
Здесь arthy = 0.5 ln((1+y)/(1–y) . Рассмотрим два примера с плотностями соответственно
f1 (t ) = (1 + t 2 / 25) −1 , f 2 (t ) = (1 + t / 3) −1 / 2 .
Начальные коэффициенты их чебышевских разложений с 6D указаны ниже.
Таблица 3
Коэффициенты разложений f i (t ) = ∑ cn(i )Tn (t ) , i = 1, 2
n ≥0
n
0
1
2
c n(1)
0,980581
0
–0,019229
c n( 2 )
1,022205
–0,176038
0,022681
3
0
–0,003245
4
0,000189
0,000487
5
0
–0,000075
6
–0,000002
0,000012
7
0
–0,000002
Оценка (5) явно завышена, поэтому для контроля вычислений использовались точные
значения интегралов.
Пример 1. Требуется вычислить интеграл
1
I = ∫ (1 − t 2 ) − 2 (1 + t 2 / y 2 ) −1 (t − x) −1 dt
1
−1
при y = 5 и x = 0,25, 0,5, 0,75, 0,9 .
Такой интеграл с точностью множителя y 2 рассматривался в работе [2], откуда
взято его точное значение
1
I = −π xy( x 2 + y 2 ) −1 (1 + y 2 ) − 2 .
Ниже указаны результаты вычислений. В правой колонке таблицы приведена абсолютная
величина уклонения значения интеграла, вычисленного по изложенному алгоритму с N =
6, от его точного значения.
Таблица 4
Результаты вычислений
x
I
∆
0,25
0,5
0,75
0,9
–0,030731
–0,061003
–0,090383
–0,107418
1,8 × 10 −6
1,7 × 10 −6
8,8 × 10 −7
2,4 × 10 −6
Пример 2. При x = 0, 0,5, 0,75, 0,9 вычислить интеграл
1
I = ∫ (1 − t ) − 2 (1 + t / 3) − 2 (t − x) −1 dt .
1
1
−1
Легко найти точное значение этого интеграла: достаточно выполнить подстановку
t = 2τ − 1 и воспользоваться преобразованием Гильберта [5. С. 175] функции
f (τ ) = (1 − τ 2 ) − 2 , τ ∈ (0,1); f (τ ) = 0 , τ ∉ (0,1) .
1
Окажется, что I = 3 2 ln(1 / y + (1 / y 2 − 1) 2 ) /(2(1 − y 2 ) 2 ) ,
гичная предыдущей, имеет вид
1
1
1
y = (1 + x) / 2 . Таблица, аналоТаблица 5
Результаты вычислений
x
0
0,5
0,75
0,9
I
1,316959
1,041376
0,945150
0,895942
∆
9,9 × 10 −7
1,4 × 10 −6
8,1 × 10 −7
2,0 × 10 −7
Библиография
1. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы
решения особых интегральных и интегродифференциальных уравнений // Математический анализ. Итоги
науки и техники. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1980. Т.18. С. 255-311.
2. Paget D., Elliot D. An algorithm for the numerical evaluation of certain Caychy principal value integrals // Numer. Math. 1972. V. 19. P. 373-385.
3. Васильев Н.И. и др. Применение полиномов Чебышева в численном анализе. Рига: Зинатне,
1984. 240 с.
4. Piessens R., Branders M. The evaluation and application of some modified moments // BIT. 1973.
V.13. № 4. P. 443-450.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 2. М.: Наука, 1970. 327 с.