1.Введение 2.Расчеты и результаты

24
Теоретическая Физика, 8, 2007 г.
АНАЛИЗ ОБЪЕМНЫХ ИНТЕГРАЛОВ И УГЛА РАДУГИ
В УПРУГОМ РАССЕЯНИИ 16 O+12 C И 16 O+16 O
c 2007 К.А. Гриднев, Е.Е. Родионова1
°
Аннотация
Рассматривается два метода вычисления объемного интеграла. Делается
попытка подтвердить связь поглощения с прозрачностью системы. Проводятся
расчеты угла радуги для систем 16 O+12 C и 16 O+16 O при различных энергиях.
1. Введение
Критерий χ2 не дает однозначный выбор параметров потенциала. Как правило,
для получения дополнительной информации из реакции и для более адекватного описания данных вводят различные интегральные характеристики потенциала:
объемные интегралы потенциала, среднеквадратичный радиус действия потенциала, положение Эйри-минимумов в зависимости от энергии. Объемный интеграл
ядерного потенциала J является ключевой величиной в классификации различных
наборов оптических потенциалов.
В данной работе более подробно рассматривается два способа вычисления объемных интегралов. Предлагается сравнение зависимостей, объемных интегралов от
энергий налетающих частиц, рассчитанные различными методами. Делаются попытки подтвердить возможность связи поглощения с прозрачностью системы. Представлены полученные кривые для функции отклонения рассматриваемых систем.
Приводятся полученные значения угла радуги при упругом рассеянии систем 16 O+16 O
и 16 O+12 C.
2. Расчеты и результаты
Традиционно объемные интегралы рассчитываются следующим образом:
Z ∞
4π
Vv,w (r) = −
Vv,w dr,
Ap At 0
(2.1)
где Ap и At – массовые числа ядра-снаряда и ядра-мишени соответственно; Vv,w (r)
– соответственно действительная и мнимая части потенциала ядерного взаимодействия.
Ряд авторов предложили другие параметризации для расчетов объемных интегралов. P. Mohr в работе [1] предложил следующий способ расчета:
JR (E) = JR0 exp(−(E − E0 )2 /∆2 ).
(2.2)
Свободные параметры J(R) , E0 и ∆ определяются методом подбора. В работе демонстрируется отличное описание зависимостей объемных интегралов от энергии в
системе центра масс для систем 90 Zr(α, α)90 Zr, 144 Smα, α)144 Sm, 208 P b(α, α)208 P b.
1 Гриднев Константин Александрович, эл. почта: kgridnev@yahoo.com; Родионова Екатерина Евгеньевна, эл. почта: rodionovakatya@rambler.ru, кафедра ядерной физики, Санкт-Петербургский
государственный университет, ул. Ульяновская, 1, Санкт-Петербург, 198504, Россия.
Анализ объемных интегралов и угла радуги в упругом рассеянии
16 O+12 C
и
16 O+16 O
25
Brown и Rho [2] предложили следующую параметризацию объемного интеграла мнимой части потенциала:

если Ec.m. ≤ E0

 0,
JI (Ec.m.) =
(2.3)
(Ec.m. − E0 )2

 J0
,
если
E
>
E
,
c.m.
0
(Ec.m. − E0 )2 + ∆2
где E0 – энергия первого возбужденного состояния; J0 – параметр насыщения; ∆ –
параметр, который подбирается подгонкой к экспериментальным данным.
Значения параметров оптического потенциала, которые использовались при расчетах в данной работе, представлены в [3]. В таблице 1 указаны значения объемных
интегралов, рассчитанные по (2.1).
Таблица 1. Значения объемных интегралов,
рассчитанные "классическим" способом
реакция
16
O+12 C
16
O+16 O
∗
Ec.m.
, МэВ
56.57
72.86
77.57
85.71
98.57
111.43
120.43
62
72.5
125
175
240
−Jv , МэВ·фм3
372.46
358.87
339.3
339.3
291.8
279.7
256.63
350.08
369.46
372.89
316.46
314.67
−Jw , МэВ·фм3
81.43
85.35
87.28
94.89
95.29
100.42
90.35
92.72
96.8
95.67
102.04
111.08
∗
– энергия налетающей частицы.
В таблице 2 представлены значения вычисленных объемных интегралов по выражению (2.2).
∗
- первое значение в столбце соответствует параметризации объемного интеграла
действительной части потенциала, а нижнее значение соответствует параметризации
объемного интеграла мнимой части потенциала. Те значения, которые не указаны,
в таблице имеют сильные расхождения с данными, полученными по (2.1).
26
К.А. Гриднев, Е.Е. Родионова
Таблица 2. Параметры объемных интегралов, которые использовались для
параметризации по выражению, предложенному в [1]
реакция
16
16
12
O+ C
16
O+ O
Ec.m. ,
МэВ
56,57
72,86
77.57
85,71
98,57
111,43
120,43
62
72.5
125
175
240
∆,
МэВ
E0 ,
МэВ
J(R) ,
МэВ
84∗
56.15
56.57∗
11.43
372.46∗
100.42
198.2∗
290
72.5∗
240
369.46∗
111.08
−Jv ,
МэВ фм3
372,46
358,71
349.89
330.23
290.07
243.13
355.67
369.35
372.02
282.76
-
−Jw ,
МэВ фм3
83.58
87,31
92.21
95.29
92.21
86.67
94,92
1065.64
111.08
На рис. 1 представлено сравнение расчетов объемных интегралов мнимых и действительных частей ядерных потенциалов рассматриваемых систем по формулам
(2.1) и (2.2).
Из рисунка видно достаточно хорошее согласие расчетов двумя методами.
При таких значениях объемных интегралов было получено хорошее описание
экспериментальных данных по упругому рассеянию систем 16 O+16 O и 16 O+12 C [3].
Из полученных зависимостей можно заметить не монотонное поведение объемных
интегралов в зависимости от энергии. На графике Jw (Ec.m. ) достаточно отчетливо
проявляется максимум. В работе [4] по аналогии с аномальной дисперсией в оптике это поведение называют "аномальной ядерной дисперсией". В работах [5, 6]
указывается на возможность связи между поглощением и аномальной ядерной дисперсией. В зависимости Jw (E) для 16 O +16 O в [6] не наблюдается максимума. Проведенные расчеты подтверждают данное поведение величины объемного интеграла
от мнимой части оптического потенциала в зависимости от энергии для упругого
рассеяния системы 16 O +16 O.
Величина поглощения связывается с различием в формах кривых Jw (E) для различных систем. Для обеспечения достаточно хорошей прозрачности системы необходимо небольшое поглощение. Чем больше поглощение, тем четче проявляется максимум в Jw (E). Из анализа полученных данных видно, что для системы 16 O +16 O
наблюдается рост в поведении Jw (Ec.m. ) в зависимости от энергии. Такое поведение
зависимости Jw (Ec.m. ) в данной энергетической области согласуется с данными работы [7]. Как указывается в литературе, максимум в зависимости Jw (Ec.m. ) наблюдается при энергии около 280 МэВ в системе центра масс и существенно меньше, чем
максимум в аналогичной зависимости для системы 16 O +12 C. Система идентичных
частиц проявляет достаточную прозрачность по сравнению с системой 16 O +12 C.
Делались попытки параметризовать мнимую часть потенциала по (3), но в работе не было получено достаточно удовлетворительного описания данных и сравнения его с другими расчетами. Полученные в данной работе зависимости объемных интегралов мнимых частей потенциалов для рассматриваемых систем круче
возрастают, чем предполагает данная параметризация. Успешное описание данной
Анализ объемных интегралов и угла радуги в упругом рассеянии
16 O+12 C
и
16 O+16 O
27
Рис. 1. Зависимости объемных интегралов действительной части потенциала для систем 16 O +16 O
и 16 O + 12 C. Закрашенные символы соответствуют расчетам по (2.1), незакрашенные символы
соответствуют расчетам по (2.2)
28
К.А. Гриднев, Е.Е. Родионова
параметризацией проводилось в работе [8] для упругого рассеяния 90 Zr(α, α)90 Zr,
Sm(α, α)144 Sm.
Как известно, функция отклонения рассчитывается следующим образом:
144
Θl = Re
2dδl
.
dl
(2.4)
Фаза рассеяния квазиклассическим методом определяется, как [9]:
πl
−k
δl =
2
Z∞
rmin
d
(
dr
r
1−
U (r)
l2
− 2 2 )rdr,
E
k r
(2.5)
где l – угловой момент; k – волновое число; U (r) – действительная часть потенциала; E – энергия налетающей частицы; r – расстояние наибольшего сближения,
определяющееся как равенство нулю выражения в скобках в (2.5). Как известно,
в области больших l рассеяние между взаимодействующими ядрами определяется кулоновским взаимодействием и функция отклонения положительна. Функция
отклонения отрицательна в области, где определяющим является притягивающее
взаимодействие, и минимум в данной области при некотором значении l дает угол
радуги. Амплитуда при данном угле определяется вкладом ближней и дальней компонент. Наблюдение радужных эффектов зависит от интерференционного вклада
двух компонент по обе стороны от радужного угла в функции отклонения.
Квазиклассический аналог оптического показателя преломления определяется
следующим образом:
r
U (r)
n= 1−
.
E
В работе [10] угол ядерной радуги является показателем преломляющих свойств
оптического потенциала. Величина и положение угла радуги сильно зависят от значений параметров потенциала, следовательно, явление радужного рассеяния может
использоваться для определения оптического потенциала.
На рисунках 2 и 3 представлены полученные функции отклонения для двух систем 16 O + 16 O и 16 O + 12 C.
Полученные значения углов радуги согласуются с работой [5]. В таблице 3 представлены теоретические и экспериментальные значения углов радуги для рассматриваемых систем при различных энергиях налетающих частиц. Как легко заметить,
получено неплохое согласие между теоретическими значениями и экспериментальными данными.
Анализ объемных интегралов и угла радуги в упругом рассеянии
16 O+
считываются функции отклонения
Рис. 2. Функция отклонения
12 C.
16 O+12 C
и
16 O+16 O
29
Цифры показывают значения энергий, при которых рас-
16 O+16 O. Цифры показывают значения энергий, при которых рассчитываются функции отклонения
Рис. 3. Функция отклонения
30
К.А. Гриднев, Е.Е. Родионова
Таблица 3. Экспериментальные и теоретические значения угла радуги
реакция
16
O+12 C
16
O+16 O
Ec.m. , МэВ
132
170
181
200
230
260
281
124
145
250
350
480
ΘR,exp. ,
105
90
83
76
63
55
52
59
57
55
48
45
0
ΘR,teor. ,
100
91
85
74
62
56
54
58
56
54
50
46
0
Важной характеристикой радужного рассеяния является положение Эйри-минимумов
в зависимости от энергии. Было показано, что положение первичного Эйри-минимума
квазиклассическим методом определяется следующим образом [4]:
µ
¶1/2
RV
V
,
aV
E
µ
¶
VC
=
2
arctg
ΘC
,
R
2E
∼
ΘC
R = ΘR − 0.56
(2.6)
где ΘC
R – угол кулоновской радуги; Rv , av , V – радиус, диффузность, глубина действительной части потенциала Вудса-Саксона соответственно; E - энергия налетающей частицы. Величина угла кулоновского рассеяния достаточна мала. Поскольку
в работе мы рассматриваем фазу, зависящую только от ядерного потенциала, то
кулоновским углом рассеяния пренебрегаем. Полученные значения представлены в
таблице 4.
Анализ объемных интегралов и угла радуги в упругом рассеянии
16 O+12 C
и
16 O+16 O
31
Таблица 4. Положение угла первичной радуги
реакция
16
O+12 C
16
O+16 O
Elab , МэВ
132
170
181
200
230
260
281
124
145
250
350
480
Θ1 o
50.57
39.46
34.59
36.52
27.54
29.83
26.99
81.5
57.05
32.34
25.67
17.66
Как видно из полученных данных, в целом подтверждается зависимость (2.6):
чем больше энергия налетающей частицы, тем больше положение первичного Эйриминимума сдвигается в область осцилляций Фраунгофера. С уменьшением энергии
налетающей частицы положение первичных Эйри – минимумов сдвигается в нефизическую область и наблюдающиеся минимумы будут второго и более высоких порядков.
3. Заключение
В работе проводился анализ поведения объемных интегралов в зависимости от
энергии налетающей частицы. Представлено хорошее согласие с расчетами по параметризации гауссовой зависимостью. Подтверждается возможность связи поглощения с прозрачностью системы. Представлены значения угла радуги для рассматриваемых систем. Проблема неоднозначности выбора потенциала взаимодействия
по-прежнему остается открытой.
Список литературы
[1] Mohr, P. Alpha - nucleus potentials for the neutron - deficient p nuclei /P. Mohr
// Phys. Rev. C. – 2000. – V. 1. – P. 0001059-0001064.
[2] Brounand, G. E. The giant Gamov – Teller resonance / G. E. Brounand, M. Rho
// Nucl. Phys. A. – 1981. – V. 372. – P. 39.
[3] Гриднев, К. А. Анализ рассеяния 16 O+12 C и 16 O+16 O в широком диапазоне энергий / К.А. Гриднев, Е.Е. Родионова, С.Н. Фадеев. // Вестник СанктПетербургского университета. – 2007. – вып. 4.
[4] Глухов, Ю. А. Эффекты преломления в рассеянии ядер
физ.-мат. наук / Ю. А. Глухов. – М. – 2003.
16
O: дис. ... док.
32
К.А. Гриднев, Е.Е. Родионова
[5] Oertzen, W. von Refractive Scattering and Reactions in the System / W. von
Oertzen [et al.] // VI International Scool - Seminar on Heavy Ion Physics. Dubna.
[6] Knoll, J. Semiclassical scattering theory with complex trajectories. I. Elastic waves
/ J. Knoll, R. Schaeffer // Ann. Phys. – 1976. – V. 97. – P. 307-366.
[7] Brandan, M.E. The interaction between light heavy-ions and what it tells us /
M.E. Brandan, G.R. Satchler // Phys. Rep. – 1997. – V. 285. – P. 143-243.
[8] Mohr, P. 144 Sm - α optical potential at astrophysicall relevant energies derived
from 144 Sm(α, α)144 Sm elastic scattering / P. Mohr, T. Rauscher, H. Oberhummer
// Phys. Rev. C. – 1997. – V. 55. – №3. – P. 1523- 1531.
[9] Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика, нерелятивисткая теория / Л.Д. Ландау, E.М. Лифшиц. – М.: Наука, 1989. – 768 c.
[10] Goldberg, D. A. Criteria for the Elimination of Discrete Ambiguities in Nuclear
Optical Potential / D. A. Goldberg, S. M. Smith // Phys. Rev. Lett. – 1972. –
V. 29. – №8. – P. 500-503.
ANALYSIS OF THE VOLUME INTEGRALS AND RAINBOW ANGLE
IN ELASTIC SCATTERING 16 O+16 O AND 16 O+12 C
c 2007 K.A. Gridnev, E.E. Rodionova
°
2
Abstract
Two methods of calculation of the volume integrals are considered. An attempt
to confirm the relation between the absorption and the transparency of the system
of interacting particles is done. Calculations of the rainbow angle for the systems
16
O+12 C and 16 O+16 O are made at different projectile energies.
2 Gridnev Konstantin Aleksandrovich, e-mail: kgridnev@yahoo.com; Rodionova Ekaterina Evgen’evna,
e-mail: rodionovakatya@rambler.ru, Dept. of Nuclear physics , St. Petersburg State University, St. Petersburg, 198504, Russia.