К более точному вычислению трех- и четырёх-частичных фазово-пространственных интегралов ИИ • Абстракт • Представлены интегральные формы для вычисления трех- и четырехчастичных фазово-пространственных интегралов. Получены нерелятивистские и ультрарелятивистские пределы. Полученные формулы позволяют более быстро и точно вычислять соответствующие интегралы. 1 Введение Для всесторонних исследований различных аспектов множественного рождения в ядерных столкновения при высоких энергиях требуется вычисление фазово-пространственных интегралов. Например, распределение энергий и импульсов частиц в конечном состоянии, разделение динамических и кинематических особенностей процесса, соотношение между поперечным и продольным импульсами частиц и т. д. Некоторое количество различных Монте Карло методов используется для вычисления фазово-пространственных интегралов , но времена их счета, как правило, велики. Наиболее популярный метод предложен G.H. Campbell , J.V. Lepore and R.J. Riddell. Evalution of Phase-Space Integrals. J. of Mathematical Physics , 8, (1967) 687-691 Он состоит в следующем. Решаем уравнение 1 2n E I 0 ( E ) n m K 0 ( m) 0 I1 ( E ) K1 ( m) для параметра , где I и K есть модифицированные функции Бесселя первого и второго типа, Е есть полная энергия , n число частиц , m есть масса частицы. Затем фазовопространственный интеграл вычисляется по формуле: 2 I1 ( E ) 4 m n Zn ( E ) ( K ( m) ) 1 3/2 (2 ) E 4n 2 E I0 ( E ) 2 m K 0 ( m) 2 2 2 E nm ( ) n ( ) 2 I1 ( E ) K1 ( m) [ ] 1/2 Наш интерес к более точным вычислениям фазово-пространственных интегралов был стимулирован серьезными расхождениями между схемой Campbell и аппроксимациями для нерелятивистского предела E nm : 3(n 1)/2 n /2 (3n 5)/2 (2 ) m ( E nm ) Z nNR ( E , m) 2n (nm)3/2 (3(n 1) / 2) и ультрарелятивистского предела E Z nER ( E , m) nm : n1 E 2 n4 2n 1 (n 1)! (n 2)! 2 Трехмерный фазово-пространственный интеграл В канонических формулах для фазово-пространственного обьема 3 d ki Z 3 ( E , m ) ( E k i 0 ) 3 ( k i ) i 1 2ki 0 3 где ki есть импульсы частиц и ki 0 ki 2 m2 мы перейдем к безразмерным переменным ki m ti Если выбрать ось z совпадающую с m2 Z 3 ( E , m) 8 d 1 ti получим: d 2 d (cos 2 ) d 3t1 d 3t2 t12 1 t2 2 1 (N t12 1 t2 2 1 t12 t2 2 2t1t2 cos 2 1) t12 t2 2 2t1t2 cos 2 1 где N E/m . После интегрирования по угловым переменным получаем: Z 3 ( E , m ) 2m 2 C t1 dt1 t2 dt2 t12 1 t2 2 1 ui ti 2 1 Для новых переменных мы находим границы интегрирования решением уравнения в аргументе дельта функции Дирака для cos 2 1 : N u1 1 u2 2 2 ( N 2 2 Nu1 3)(u12 1) N 2 2 Nu1 1 Для фазово-пространственного интеграла получим: Z 3 ( E , m) m 2 2 ( N 2 -3)/2 N 1 du1 u2 u2 du2 И окончательно получим: ( 4) 2 1 v(1 v)( ( 4)v 4( 3)) Z 3 ( E , m) m ( ) dv 2 0 2( 3) ( 2) ( 4)v 2 N 3 2 где . Такая интегральная форма весьма удобна для численных расчетов с произвольно заданной точности, а также не содержит сингулярностей. На Рис. 3 мы можем сравнить точные расчеты по данной формуле и по Campbell схеме. 0 Нерелятивистский предел фазово-пространственного интеграла соответствует пределу Мы раскладываем подинтегральное выражение в ряд Тейлора по членам и после интегрирования получаем асимптотическое разложение: 3 ( 4) Z ( E , m) m 32 3 NR 3 3 ( 2 ) 2 1 2 1 3 7 5 5 4 (1 ) 72 144 2592 5184 или Z NR 3 ( E , m) m 3 2 1 2 1 3 7 1 4 3( 5 18 108 2592 1296 ) 1 Ультрарелятивистский предел фазово-пространственного интеграла соответствует пределу . После замеы переменных в (12 ) 1/ y мы разложим подинтегральное выражение в ряд Тейлора по членам . Только для первых двух членов ряда интеграл сходится и расходится для всех остальных. Поэтому мы выбираем следующую форму для ультрарелятивистского предела фазово-пространственного интеграла y a1 a2 a3 1 31 Z ( E , m) m ( a 0 (1 exp( 2 3 ))) 8 4 Результаты фитирования данных y на интервале (0., 0.1) таковы: ER 3 2 2 2 a0 =0.00071422; a1 =78.4275; a2 =-640.04376 a3 =2211.03989 2 Фазово-пространственный интеграл четырех частиц Четырехчастичный фазово-пространственный интеграл может быть представлен через двухчастичные фазово-пространственный интегралы: Z 4 ( E,m) d p Z 2 ( P - p,m)Z 2 ( p,m) 4 Z 2 ( p,m) является не стандартным двухчастичным фазово-пространственным интегралом: Z 2 ( p,m) 2 p0 2 4m 2 p0 2 а является двухчастичным фазово-пространственным интегралом вне центра масс: Z 2 ( p,m) d 3k1 d 3 k2 2 k12 m2 2 k2 2 m 2 2 2 2 2 ( p0 k1 m k2 m ) 2 ( p k1 k2 ) p0 2 p 2 4m2 p0 2 p 2 p где , E есть импульс системы двух частиц. Подставив (19) в (17) и введя новую переменную m( 4) , а также учитывая кинематические ограничения получим: Z 4 ( E,m ) 3 8 m ( 4) 4 0 4 1 4/( 4) dw 0 (1 w )2 ( 4/( 4)) 2 dt t 2 (1 w) 2 t 2 (4 / ( 4)) 2 (1 w) 2 t 2 (4 / ( 4)) 2 (1 w) 2 t 2 (1 w) 2 t 2 На Рис. 4 сравниваются результаты расчетов по схеме [1] с (20). Как видим данные по схеме Campbell превышают точные значения. Нерелятивистскому пределу фазово-пространственного интеграла соответствует пределу 0 Перейдем к новым переменным u и v w z u, t v (1 u ) z (2 z uz ) /( где z интегрирование по 4) z . Далее мы разложим в ряд Тейлора по членам и проведем и . Полученный ряд по легко преобразуется в ряд по z u v 3/2 4 4 7/2 2 m NR i Z 4 ( E , m) a i 105 где значения коэффициентов a0 1 1 16 81 a2 5632 a1 a3 2811 1171456 ai приведены в Таблице. 17581 74973184 1085791 a5 20392706048 597243189 a6 12398765277184 a4 a7 4581732455 198380244434944 : Для получения ультрарелятивистского предела вводим новую переменную b b 4 / ( 4) Очевидно, ультрарелятивистскому пределу соответствует подинтегральное выражение по членам b : b 0 . Мы разлагаем 2 2 2 2 2 t (1 w t ) 2 t w 2 2 4 t 4 b b 2 2 2 4 2 2 2 2 t (1 w ) 2t (1 w ) (t (1 w ) 2t (1 w )) После интегрирования получаем: 1 f 0 ((2 5b2 ) 1 b2 3b4 ln(b) 3b4 ln(1 1 b2 )) 24 (10 b2 ) 1 b2 (32 24b2 b4 ) ln(1 1 b2 ) f2 32 128 (16 24b2 b4 ) ln(b) b2 (8 b2 ) ln(4 3b 2 4 1 b 2 b 2 1 b 2 ) 64 128 Следующие члены чрезвычайно громоздки. Для оценки точности аппроксимации мы численно вычисляли интеграл (20) без множителя 3 E 4 / 8 с высокой точностью. На Рис. 5 можно видеть поведение относительной ошибки . Поведение фазово-пространственного интеграла и аппроксимаций на интервале мы можем видеть на Рис. 6 b (0.0 , 0.5) Для улучшения точности проведено фитирование следующей формулы с параметрами : 4 5 6 a ,a ,a Z 4ER ( E,m) 3E 4 8 ( f 0 f 2b2 (a4b4 + a5b5 + a6 b6 ) ln(b)) где значения параметров таковы: a4 1.037089, a5 4.018681, a6 4.07162 4 Заключение Необходимо отметить, что предложенная схема позволяет вычислять фазово-пространственные интегралы более быстро и более точно для систем трех и четырех частиц. Если нет необходимости в высокой точности можно ограничиться нерелятивистским и ультрарелятивистским аппроксимациями. Это позволит существенно уменьшить время счета. Методология развитая в данной работе позволяет построить вычислительную процедуру для пяти и более частиц.