Вязкоупругая модель корнеосклеральной оболочки глаза К.П. Фролова (СПбПУ, ИПММ, 6 курс, каф. ТМ) Научный руководитель: Е.Н. Вильчевская Структура глаза Сечение глазного яблока 2 Тонометрия W pt S p pt N M Принцип (а) импрессионной и (б) аппланационной тонометрии pt – тонометрическое давление W – вес прикладываемого груза S – площадь зоны контакта p – истинное ВГД N – влияние сил, увеличивающее зону контакта за счет прикладываемого груза M – влияние сил упругости роговицы , уменьшающее зону контакта 3 Аппланационный тонометр Маклакова Измерение ВГД методом Маклакова 4 Аппланационный тонометр Гольдмана Диаметр аппланации всегда постоянен и равен 3.06 мм. Сила, действующая на площадку сплющивания со стороны призмы, в 0.1 г соответствует внутриглазному давлению в 1 мм.рт.ст. Изображения верхней и нижней площадок сплющивания 5 Сравнение моделей тонометрии по Гольдману и Маклакову Гольдман: Роговица Склера Маклаков (10 г): Трансверсально – изотропная сферическая оболочка постоянной толщины, имеющая радиус роговицы Корнеосклеральная оболочка Сопряженные оболочки Показатели ВГД, полученные тонометром Гольдмана и тонометром Маклакова 6 Анализатор биомеханических свойств глаза (ORA) Процедура измерения №1 Процедура измерения №4 Процедура измерения №2 Процедура измерения №3 7 Снимаемые параметры Двунаправленный процесс аппланации роговицы •IOPG ВГД по Гольдману •IOPCC Роговично компенсированное ВГДрк •CH Корнеальный гистерезис •CRF Фактор резистентности роговицы •CCT Толщина роговицы 8 Введение интравитреальной инъекции Схема эксперимента 9 ВГД (среднее +/- стд. отклонение), мм.рт.ст. Экспериментальная кривая 60 ** 55 ИВИ (n = 34) контроль (n= 34) 50 ** 45 40 ** 35 30 ** 25 20 15 10 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 с 500 время, 600 Изменение ВГД с течением времени 10 Алгоритм для определения гидродинамических показателей Флюорофотометрия – метод определения уровня оттока внутриглазной жидкости, основанный на измерении показателей объема передней камеры и ВГД, меняющихся при медикаментозном воздействии гипотензивных препаратов. Тонография - метод измерения и регистрации ВГД, позволяющий определять состояние оттока внутриглазной жидкости. Модель глазного яблока До нагружения: F R, P P0 F const R C ( P Pe ) t P(t ) Pst [ P(0) Pst ]exp( ) Pe Pe 0 Pst P0 C1 K F – скорость притока жидкости R – скорость оттока жидкости V – объем глаза P – ВГД C – коэффициент легкости оттока Pe – давление в эписклеральных венах Pst – давление при неограниченной длительности нагружения τ – характерное время изменения давления K – объемная жесткость 11 корнеосклеральной оболочки Алгоритм для определения гидродинамических показателей P(0) P(4) P 2 (2) Pst P(0) P(4) 2 P(2) Аппроксимация экспериментальной кривой Pe Pe 0 1.25, мм. рт.ст. K P0 ln10 Ei Ei 0.0215, 1 мм3 2 P(2) Pst ln( ) P(0) Pst Ei – средний коэффициент ригидности корнеосклеральной оболочки, предложенный J.Friedenwald, 1/мм3 12 Реологическая модель вязкоупругого материала Структурные элементы: Элемент Гука (пружина) Элемент Ньютона (поршень в цилиндре, заполненном маслом) Реологическая модель оболочки глаза 13 Метод преобразования Лапласа ur (r , t ) e st ur (r , t )dt ur (r , s ) 0 ur (r , t ) e st ur (r , t )dt pur (r , s ) ur (r , 0) 0 • Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригиналом). • Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. 14 Задача Ламе для упругого изотропного сферического слоя под действием внутреннего давления •Граничные условия rr ( R1 ) P0 •Уравнение равновесия rr ( R2 ) 0 •Закон Гука r ( ) r rr rr G E ( rr ) r r G E ( rr ) G E E G 2(1 ) u •Связь ε и u rr dur r r dr σ 0 rr 2 rr 0 r r Решение P0 R13 R23 (1 ) (1 2 ) ur 3 ( r ) 3 2 ( R2 R1 ) E 2 Er 4 4 V ( P) ( R1 ur ( R1 ))3 ( R1 )3 3 3 15 Вязкоупругая задача для изотропного сферического слоя под действием постоянного внутреннего давления rr r R1 P(t ) P0 H (t ) rr rr r R2 0 rr σ K E 2e 2 e r R1 r R1 P0 H (t ) 0 Граничные условия Материал Кельвина – Фойгта Уравнение равновесия в перемещениях 2ur 2 ur 2ur 2 ur 4 2 4 2 ( K )( u ) ( u )0 3 r 2 r r r2 r 3 r 2 r r r2 r 2ur 2 ur 4 4 2 ( K s )( ur ) 0 2 2 3 3 r r r r ur C1r C2 r2 16 Решение для перемещений и радиальных напряжений P0 R13 1 1 R23 t ur ( r , t ) 3 ( r (1 exp( ))) 3 2 ( R2 R1 ) 3K 4 r Решение для перемещений P0 R13 P0 R13 R23 (1 ) 1 1 R23 (1 2 ) ur ( r , t ) 3 ( r ) 3 ( r ) uel lim 3 2 3 2 ( R2 R1 ) 3K 4 r ( R2 R1 ) E 2 Er t Решение для радиальных напряжений Проверка P0 R13 R23 rr (r , t ) 3 (1 3 ) 3 ( R2 R1 ) r IOP rr ( R1 , t ) P0 17 Матрица жесткости для трансверсально – изотропной среды •Закон Гука σ С:ε 4 ε S:σ 4 C11 C12 C12 C22 C12 C23 4 C 0 0 0 0 0 0 C12 C23 C22 0 0 0 σ – тензор напряжений ε – тензор деформаций 4С – тензор жесткости 4S – тензор податливости 0 0 0 C22 C23 2 0 0 0 0 0 0 C66 0 0 0 C66 0 0 0 1 – ось изотропии 18 Упругие модули C11 E11 4 K 23 C12 2 12 K 23 C22 23 K 23 C23 23 K 23 C66 12 2 12 E11 –модуль Юнга в направлении оси изотропии ν12 - коэффициент Пуассона K23 – объемный модуль упругости μ23, μ12 - модули сдвига для поверхности изотропии и для любой плоскости, перпендикулярной к поверхности изотропии 19 Задача Ламе для упругой трансверсально изотропной сферической оболочки под действием внутреннего давления •Граничные условия rr ( R1 ) P0 rr ( R2 ) 0 •Уравнение равновесия для сферы σ 0 rr 2 rr 0 r r •Связь деформаций и перемещений du rr dr u r 20 Решение для перемещений Закон Гука rr rr E11 E22 E22 21 E22 23 E22 23 E22 21 E22 12 rr E11 12 rr E11 r r 12 r r 12 23 21E11 v12 E22 Перемещения ur C1r m C2 r m 1 E11 , E22 –модули Юнга в поверхности изотропии и в направлении, перпендикулярном к ней ν23, ν12, ν21 -коэффициенты Пуассона μ12 – модуль сдвига для плоскости, перпендикулярной к поверхности изотропии μ23 - модуль сдвига для поверхности изотропии P0 [(1 23 ) E11 2 122 E22 ] R1m 2 R22 m 1 C1 E11 m 1 (1 23 ) E11 2 12 E22 R22 m 1 R12 m 1 P0 [(1 23 ) E11 2 122 E22 ] R1m 2 C2 E11 m(1 23 ) E11 2 12 E22 R22 m 1 R12 m 1 m 12 1 2 E22 (12 1) 4 E11 (1 23 ) 21 Представление решения через другие упругие модули E22 23 4 23 K 23 2 K 23 23 4 12 23 K 23 E11 2 K 23 23 4 12 23 K 23 E11 2 K 23 23 4 12 23 K 23 E11 E22 –модуль Юнга в направлении плоскости изотропии ν23 - коэффициент Пуассона 2 P23 Перемещения C2 u C1r m 1 r m R1m 2 R22 m 1 C1 m 1 2 23 E11 8 122 23 K 23 8 122 23 K 23 R22 m 1 R12 m 1 2 P23 R1m 2 C2 m 2 23 E11 8 122 23 K 23 8 122 23 K 23 R22 m 1 R12 m 1 m 12 1 4 K23 (112 ) 2 4 E11 412 K23 22 Вязкоупругая задача для трансверсальноизотропного сферического слоя под действием постоянного давления Уравнение равновесия в перемещениях E112 (1 23 ) d 2ur 2 dur E22 (1 12 ) ur ur 4 d 2ur 2 dur ( 2 ) 2 0 E11 (1 23 ) 2 122 E22 dr 2 r dr E11 (1 23 ) r 2 3 dr 2 r dr r2 A rr C A ur dur 2 dur 2 ur D 2 ( ) r dr 3 dr 3 r E11 E22 2 E11 (1 23 ) 2v12 E22 B v12 A C 2v12 A D ur dur 1 ur 1 dur B 2 ( ) r dr 3 r 3 dr (1 23 ) E11 A E22 Компоненты тензора напряжений A 2 K 23 B 2 12 K 23 C 4 12 K 23 D E11 4 12 K 23 Упругие константы 23 Безразмерная постановка для трансверсально-изотропной задачи Безразмерные величины ur R1 r u x 1 R2 Перемещения Координата R2 R2 ij dim ij E22 Напряжения ur R2 E22 u ur E22 u r x t E22 Время 2ur E22 2u 2 r R2 x 2 Уравнение равновесия E11 2 (1 23 ) 2 [1 12 (1 23 )] u 4 d 2u 2 du u ( s )( 2 2 2) 0 E22 (1 23 ) 2 122 3 dx x dr x (1 23 ) 2 122 x2 Радиальные напряжения rr dim (1 23 ) 2 2 12 4 u 4 dur ( s ) ( s) 2 2 (1 23 ) 2 12 3 x (1 23 ) 2 12 3 dr 24 Решение для перемещений Значения констант ξ=0.01 β=0.96 ν23 =0.45 ν12 =0.01 p=0.005 Перемещение внутренней границы сферического слоя с течением времени 25 Численные методы Лапласа Метод Закиана n aj 1 f (t ) f n (t ) f n , , K (t ) K j f ( ) t j 1 t a [12.83767675 1.666063445 j , 12.22613209 5.012718792 j , 10.93430308 8.409673116 j , 8.776434715 11.92185389 j , 5.225453361 15.72952905 j ] K [ 36902.08210 196990.4257 j , 61277.02524 95408.62551 j , 28916.56288 18169.18531 j , 4655.361138 1.901528642 j , 118.7414011 141.3036911 j ] Метод Джефферсона и Чоу n=5 n=10 n – размерность матрицы a и K n=15 26 Задача Ламе для вязкоупругого сферического слоя при постоянном значении дополнительного объема Граничные условия u ( x , ) u0 H ( ) u ( x , s ) u0 H ( ) rr dim ( x 1, ) r R2 0 rr dim ( x 1, ) 0 Учет дополнительного объема при инъекции 4 4 V ( R1 ur 0 ( R1 ))3 ( R1 )3 4 R12u0 3 3 ur 0 V R2u0 const 4 R02 27 Решение для перемещений и радиальных напряжений для изотропного сферического слоя Решение для перемещений 1 (1 2 3 4 3 ) 2 [exp( )( x x 2 )( x)(1 ) 3 (2 x 3 4 x 3 1 )]u0 3 4 (1 2 )(1 ) u ( x, ) (1 2 3 4 3 ) x 2 Сходимость решения к упругому 3 (2 x3 4 x3 1 )u0 u ( x, ) uel lim 3 3 2 (1 2 4 ) x Решение для напряжений 1 (1 2 3 4 3 ) u0 ( x x 1)( x 1)(2 (2 1) (1 ) exp( )) 4 (2 1)(1 ) 3 rr dim ( x, ) (1 2 3 4 3 ) x3 (2 1) 2 3 28 Определение ВГД для трансверсальноизотропного сферического слоя Значения констант ξ=0.01 β=0.96 ν23 =0.45 ν12 =0.01 u0=0.0024 Изменение ВГД с течением времени 29 Нахождение значения вязкости для данной задачи 4 значения ВГД из результатов эксперимента 4 значения ВГД в безразмерной постановке задачи 4 значения τ 4 значения η Эксперимнетальное значение ВГД: 32 мм. рт. ст. при t=10 с Безразмерное ВГД : 0.000298 τ=188.665 (метод Закияна) 187.066 (N=10) 189.457 (N=15) η= 757.957 КПас (метод Закияна) 764.436 КПас(N=10) 754.789 КПас (N=15) 30 Нахождение значения вязкости для переменного граничного условия t V (t ) V eye 0 V t t R (t )dt V eye 0 t 0 V V (t )dt t 0 Изменение объема глаза V (t ) V0eye V 4 ri 2 (0)ur (t ) t t t 0 V (t )dt V (t ) V0eye V ur (t ) u( , t ) u0 u0 u0 ri (0) 4 ri3 (0) 4 ri3 (0) • Безразмерное перемещение • Размерное время Перемещение на внутренней границе Коэффициент сдвиговой вязкости входит в систему уравнений 31 Условие оттока жидкости из глаза Обработка данных тонографии Скорость оттока жидкости Условие для перемещений на внутренней границе сферического слоя 32 Изменение ВГД с течением времени для трансверсально-изотропного случая Изменение ВГД с течением времени η= 754.789КПас 33 Литература 1. С.М. Бауэр, Л.А. Замураев, К.Е. Котляр. Модель трансверсальноизотропного сферического слоя для расчета изменения внутриглазного давления при интрасклеральных инъекциях // Российский журнал биомеханики – 2010 – То 10, №2 – С. 43 – 49. 2. В.П. Еричев, М.В. Еремина, Л.В. Якубова, Ю.А. Арефьева. Анализатор биомеханических свойств глаза в оценке вязко–эластических свойств роговицы в здоровых глазах // Глаукома – 2007 – № 1. – С. 11 – 15. 3. В. Новацкий. Теория упругости// Пер. с польского – Изд. «Мир» - 1975 4. Г.Л. Колмогоров, Т.В. Латышева, М.В. Снигирева. Трансверсально изотропные характеристики сверхпроводящих длинномерных композиционных материалов. 5. К. Котляр, С. Бауэр, Н. Планге. Клинические и биомеханические аспекты изменения внутриглазного давления после интравитреальных инъекций. 6. Е.Н. Иомдина, С. Бауэр, К. Котляр. Биомеханика глаза: теоретические аспекты и клинические положения//М.: Реал Тайм – 2015 – 208 с 7. E. Avdis, W.W. Power . Algorithms for Inverting Laplace Transforms// INFORMS Journal on Computing - Vol. 19, No. 3, Summer 2007, pp. 341–355 34