Решение параметрических уравнений и неравенств с модулями

Решение
параметрических
уравнений и
неравенств с
модулями
(схема)
Способы решения
• По определению
• Исходя из геометрического
смысла
• По общей схеме
• Использование специальных
соотношений и свойств модуля
По определению
 a, если а  0
a 
 a, если а  0
  f ( x)  0

f ( x)  g ( x)


f ( x)  g ( x) 
 f ( x)  0
  f ( x )  g ( x )

Исходя из
геометрического смысла
a
– расстояние на числовой прямой от точки 0 до точки
f ( x)  a
f ( x)  g ( x)
f ( x)  a
f ( x)  a
Использование геометрического смысла
модуля (при
а0
4.
3.
2.
1.
 f ( x)  a
f ( x)  a  
 f ( x)  a
 f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)   g ( x)
 f ( x)  a
f ( x)  a  
 f ( x)  a
 f ( x)  a
f ( x)  a  a  f ( x)  a  
 f ( x)  a
)
По общей схеме
1. Найти ОДЗ
2. Найти нули всех подмодульных
функций
3. Отметить нули на ОДЗ и разбить
ОДЗ на интервалы
4. Найти решение в каждом
интервале ( и проверить, входит
ли решение в этот интервал)
Использование специальных соотношений и
свойств модуля
1.
2.
3.
4.
5.
u  u u  0
u  u  u  0
u  v u v
2
2
u  v u v
u  0
uv uv  
v  0
2
2
6.
u  0
u  v  u  v  
v  0
7.
u  v  u  v  uv  0
8.
u  v  u  v  uv  0
9.
x  a  x  b  b  a  a  x  b, где a  b
1 свойство:
2 свойство:
3 свойство
u 0
u  u
u  u
4 свойство:
5 свойство:
uv  u  v
u
u

v
v
6 свойство:
7 свойство:
8 свойство:
9 свойство:
u
n
u
u
2k
n
v
2k
uv  u  v
u  v  uv  u  v
Графические приемы
решения задач с
параметрами
•
•
•
•
Применение параллельного переноса
Применение поворота
Применение гомотетии и сжатия к
прямой
Параметр как равноправная переменная
на плоскости
Применение
параллельного
переноса
1. Сколько корней имеет уравнение
x  2x  3  a
2
, в зависимости от значений параметра
a?
Построим в одной системе координат
графики функций
и ya .
y  x 2  2x  3
Ответ: при
a  0 корней нет;
при
a  0 или a  4 два корня;
при
0  a  4 четыре корня;
при
a  4 три корня.
2. Сколько корней имеет уравнение
2x x a
2
, в зависимости от значений параметра
a
?
Построим в одной системе координат
графики функций y 
2 x  x2 и y  a .

y

0
y

0


2
y 2x x  2
2 
2
2
 y  2 x  x
 x  1  y  1
Ответ: при a  0 или a  1 корней нет;
при a  1 два корня;
при a  0
три корня;
при 0  a  1
четыре корня.
3. При каких значениях параметра
уравнение
2 x 1  x  a
имеет ровно три решения?
a
.
Ответ: при a  1
или
1
a
2
4. Решите неравенство
1  x  a  x.
Ответ: при
a  1 нет решений;
a 1 

при  1  a  1 x    ;
 ;
2 

a 1

при a  1 x    ;
 .
2 

5. При каких значениях параметра
неравенство
3 x  a  x
2
отрицательное решение?
a
имеет хотя бы одно
13
 a  3.
Ответ: при 
4
6. При каких значениях параметра
уравнение
x  a  2x  2  3
имеет единственное решение?
a
Ответ: при a  4
или a  2.
Применение
поворота
1. При каких значениях параметра
уравнение
x 2  5 x  6  ax
имеет ровно три решения?
a
.
Ответ: при
a  52 6
2. Решите уравнение
3x  3  ax  4
Ответ: при
при
при
при
1
a  3 x 
;
3 a
1
7
 3  a  3 x1 
; x2 
;
3 a
a3
7
3 a  4 x 
;
a3
1
a4 x
.
3 a
3. Сколько корней имеет уравнение
x  3  k x  9
в зависимости от значений параметра a ?
Ответ: при
при
при
k  1
один корень;
1
два корня;
1  k  
3
1
три корня;
k 
3
1
при   k  0 четыре корня;
3
при
k 0
два корня;
при 0  k  1 корней нет;
при
k  1 один корень.
Применение гомотетии и
сжатия к прямой
1. Сколько решений имеет система
уравнений
x  y a
 2
2
x

y
1

?
Ответ: при a  1 решений нет; при
четыре решения;
при
восемь решений;
при
четыре решения;
при
решений нет.
a 1
1 a  2
a 2
a 2
2. Сколько решений имеет уравнение
x  a  x  2  0?
2
Построим в одной системе координат графики
функций
и
y  x2
y  a x 2
. Вторая функция задает на
плоскости семейство «уголков» с вершиной в
точке (2;0).
Ответ: при
a  0 нет решений; при a  0
8  a  0
три корня;
два корня; при a  8
при
один корень; при
a  8 четыре корня.
Параметр как равноправная
переменная на плоскости x; a 
1. При каких значениях параметра a
уравнение
a  4x  x 2 1 a  1  x  2  0
имеет ровно три решения?



Данное уравнение равносильно совокупности уравнений
a  x  4 x  1

a

x

2

1

2
.
Ответ: при a  1
2. При каких значениях параметра
уравнение
a
x  4x  2  x  a  2  a  0
2
имеет ровно два решения?
Данное уравнение равносильно совокупности

xa 0
 2
 x  4 x  2( x  a)  2  a  0 
xa 0

 x 2  4 x  2( x  a)  2  a  0


ax

2
a


x
 2x  2

.
a

x


1 2
2

a  x  2x 

3
3


1
Ответ: при a  2
3
или
a  2.
3. Решить уравнение
x  a  1  x  2a  x.
Ответ: при a  1 нет решений; приa  1 x  2 ; при
a  1 x1  a  1; x2  3a 1.
4. При каких значениях параметра
уравнение
2 x 1  x  a
имеет ровно три решения?
a
Выражая
a
через
x получаем
1

 3 x  1, x   2

1
 x  1,   x  0

2
a ( x)  x  2 x  1  
1
 3x  1, 0  x 
2

  x  1, x  1

2

Ответ: при a  1 или
1
a .
2
5. При каких значениях параметра
неравенство 3  x  a  x 2
имеет хотя бы одно отрицательное
решение?
a
Данное неравенство равносильно совокупности

a x

2
a


x

x

3


.
a x
 
 a  x 2  x  3
 
13
Ответ: при   a  3.
4
5. При каких значениях параметра
уравнение
x  a  2x  2  3
имеет единственное решение?
a
Ответ: a
 4 или a  2.
6. При каких значениях параметра a
уравнение
x 2  5 x  6  ax
имеет ровно три решения?
6

x

5

,
x

2

x
2
x  5 x  6 
6
a
  x  5  , 2  x 3.
x
x

6
 x 5 , x  3

x
Ответ: при a  5  2 6.