Квадратичная функция, решение квадратных уравнений и неравенств Обучающая интерактивная презентация 8-9 класс 1. Квадратичная функция Квадратичной функцией называется функция вида f ( x) ax 2 bx c, где a 0, a, b, c R Область определения: D( y) : x R График квадратичной функции: парабола y y y=f(x) y=f(x) Если a>0: Если a<0: 0 x 0 x 2. Квадратичная функция, ее график Точка ( x0 ;y0 ) – вершина параболы y Вычисление координат вершины параболы: y=f(x) x0 x1 x0 x2 x 0 y0 b 2a y0 ax02 bx0 c x1 ; x2 – точки пересечения параболы с осью Ox (в зависимости от расположения параболы их может и не быть) Область значений квадратичной функции: y [ y0 ; ) , a 0 E ( y) : y ( ; y0 ], a 0 3. Количество точек пересечения графика квадратичной функции с осью Ox Рассмотрим квадратичную функцию с коэффициентом a>0 Возможны 3 различные ситуации расположения графика относительно оси Ox: y y y y=f(x) y=f(x) y=f(x) 0 x 0 x 1. Одна точка пересечения 2. Точек пересечения нет (парабола касается оси Ox) (парабола располагается выше оси Ох) 0 3. Две точки пересечения (парабола пересекает ось Ох) x 4. Решение квадратных уравнений Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 bx c 0 , (a 0) (1) Для его решения вычисляется дискриминант: D b2 4ac В зависимости от значения дискриминанта возможны 3 ситуации: 1) D 0, b D b D x1 , x2 2a 2a два различных действительных корня 2) D 0, b D b D , x2 2a 2a äâà ñîâïàäàþùè õ äåéñòâèòåë üíûõ êîðíÿ ( êðàòíûå êîðíè ) x1 3) D 0, действительных корней нет 5. Теорема Виета Квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при старшей степени a равен 1 : x 2 px q 0 (2) Заметим, что уравнение (1) всегда можно привести к (2) делением обеих частей уравнения (1) на коэффициент a. Если квадратное уравнение (1) имеет решения x1 ;x2 , то: x1 x2 p x1 x2 q 6. Графическая интерпретация решения квадратных неравенств Задача 1. Решить квадратное неравенство ax 2 bx c 0 Ситуация 1. (a 0) (3) y D=0 (два совпадающих корня уравнения (1)) y=f(x) Решением квадратного неравенства (3) является: x ; x0 ( x0 ;) 0 x0 x Графическая интерпретация решения квадратных неравенств Ситуация 2. D<0 (уравнение (1) не имеет действительных корней) y y=f(x) Решением квадратного неравенства (3) является: x (;) 0 x Графическая интерпретация решения квадратных неравенств Ситуация 3. D>0 (уравнение (1) имеет 2 различных действительных корня) y y=f(x) Решением квадратного неравенства (3) является: x (; x1 ) ( x2 ;) 0 x1 x2 x Графическая интерпретация решения квадратных неравенств Задача 2. Решить квадратное неравенство ax 2 bx c 0 Ситуация 1. (a 0) (4) y D=0 (два совпадающих корня уравнения (1)) y=f(x) Решением квадратного неравенства (4) является: x 0 x0 x Графическая интерпретация решения квадратных неравенств Ситуация 2. D<0 (уравнение (1) не имеет действительных корней) y y=f(x) Решением квадратного неравенства (4) является: x 0 x Графическая интерпретация решения квадратных неравенств Ситуация 3. D>0 (уравнение (1) имеет 2 различных действительных корня) y y=f(x) Решением квадратного неравенства (4) является: x ( x1; x2 ) 0 x1 x2 x