Общие теоремы динамики точки

Глава 2
Общие теоремы динамики точки
§ 1. Теорема об изменении количества движения точки
§ 2. Теорема моментов
§ 3. Работа силы
3.1. Элементарная работа силы
3.2. Работа силы на конечном перемещении
3.3. Примеры вычисления работы силы
§ 4. Теорема об изменении кинетической энергии
материальной точки
§ 5. Несвободное движение точки (Принцип Даламбера)
5.1. Принцип Даламбера
5.2. Относительное движение точки
5.3. Частные случаи
1
• Количеством
движения
материальной
точки
называется векторная величина, равная произведению
массы точки на ее скорость
Q  m V
Q  кг  м с  Н  с
• Элементарным импульсом силы называется
векторная величина, равная произведению силы на
элементарный промежуток времени
dS  F  dt
 S   кг  м с  Н  с
2
• Импульс силы за некоторый промежуток времени
равен определенному интегралу от элементарного
импульса, взятого по этому промежутку
t1
 F  dt
S 
0
Импульс силы характеризует действие силы на
материальную точку за время τ
В случае постоянной силы
S  F  t1
В случае движения матер. точки в пространстве
Sx 
t1
F
x
0
t1
 dt
S y   Fy  dt S z 
0
t1
F
z
 dt
0
3
§ 1. Теорема об изменении количества
движения точки
(в дифференциальной форме)
Производная по времени от количества движения
точки равна сумме действующих на нее сил
n
n
dV
d  mV 
m
  Fk , m  const , 
  Fk
dt
dt
k 1
k 1
d Q 
dt
n
  Fk
k 1
4
Теорема об изменении количества
движения точки
(в интегральной форме)
Изменение количества движения точки за
некоторый промежуток времени равно сумме
импульсов всех действующих на нее сил за тот
же промежуток времени
n
d  mV    Fk dt 
k 1
V1
t1
 mV1  mV0    Fk dt
k 1 0
n
 d  mV     F
V0
n
t1
0 k 1
dt
k
n
или mV1  mV0   Sk
k 1
5
Если задача
пространственная
n
mV1x  mV0 x   Skx
k 1
n
mV1 y  mV0 y   Sky
k 1
n
mV1z  mV0 z   Skz
k 1
(1-я задача динамики)
Зная, как изменяется
скорость точки, определить
импульс действующих сил
(2-я задача динамики)
Зная импульсы
действующих сил,
определить, как изменяется
скорость точки при движении
6
§ 2. Теорема моментов
• Моментом
количества
движения
точки
относительно некоторого центра О называется векторная
величина, равная векторному произведению радиусвектора точки на ее количество движения
z
mV
h
r
mO  m V 
х
O
mO  m  V   r   m  V 
mO  m  V   m  V  h
• Момент количества
движения точки
относительно оси Z,
проходящей через точку О,
равен проекции вектора
y момента на эту ось
mz  mV    mO  mV    mO  mV   сos
z
7
Продифференцируем момент количества движения по
времени

d  mV  
d
dr


r  mV 

 mV    r 




dt
dt
 dt
 

 V  mV    r  ma   0   r  F 
d
r  mV   r  F

dt
или
d
 mO  mV    mO  F 

dt 
Теорема моментов относительно центра
Производная по времени от момента количества
движения точки, взятого относительно неподвижного
центра, равна моменту действующей на точку силы
относительно того же центра
8
Основное уравнение динамики умножим слева векторно
на радиус-вектор
r  ma  r  F

r
d  mV 
dt
или
d

r  mV   r  F

dt
d
 mO  mV    mO  F 

dt 
9
Спроектируем обе части равенства на ось Z, получим
d
 mz  mV    mz  F 

dt 
Теорема моментов относительно оси
Производная по времени от момента количества
движения точки, взятого относительно некоторой
оси Z, равна моменту действующей на точку силы
относительно той же оси
10
Теорема сохранения момента количества движения
Если
mO  F   0,
то
mO  mV   const (¤)
Момент количества движения точки относительно
некоторого центра есть величина постоянная, если
момент действующей на точку силы относительно
того же центра равен нулю
11
Пример. Рассмотрим движение материальной точки
под действием центральной силы
M

F  F

r
O
M
 
m0 ( F )0
из (¤) =>
mO  mV   const
т.е. момент количества движения

есть постоянный вектор. Следовательно, вектор r при
движении т.М остается в одной плоскости, и траектория
движения – плоская линия
12
§ 3. Работа силы
3.1. Элементарная работа силы
M dr 
F

Fn


F
Элементарная работа силы
приложенной к точке M:


F,
dA F dr
F - проекция силы на
касательную к траектории,
направленной в сторону
движения точки;
dr - модуль вектора
элементарного
перемещения точки
13
Поскольку Fτ = m·aτ = m dV/dt , то работа силы
характеризует действие силы по изменению величины
скорости точки
Fτ = Fcosφ, тогда δA = Fcosφ·dr
или
dA  F  dr
Элементарная работа равна скалярному произведению
вектора силы на вектор элементарного перемещения
точки ее приложения
δA > 0, если Fτ > 0
δA < 0, если Fτ < 0
δA = 0, если Fτ = 0
14
dr  dt
Представим
тогда
dA  F  dt




F  Fx i  Fy j  Fz k




dr dxi dy j dzk
dA  Fx dx  Fy dy  Fz dz (*)
( * ) – аналитическое выражение элементарной работы
Размерность: [A] = [H·м] = [Дж]
15
3.2. Работа силы на конечном перемещении
l k
B
Работа силы на конечном
перемещении есть предел
суммы элементарных работ
n
AAB  lim  dAk
lk  0
n 
A
AAB 
 F dr

AB
или
AAB 
k 1
  F dx  F dy  F dz 
x
y
z
AB
Работа силы на конечном перемещении AB равна
взятому вдоль этого перемещения криволинейному
интегралу от элементарной работы
16
3.3. Примеры вычисления работы силы
а) Работа постоянной силы на конечном перемещении
B

F

M
 rB
r
A

rA O

F const

r
  B 
A  F dr  F dr 
rA
 AB

 

F ( rB rA ) F r
AAB  F  r cosF , r 
(1)
17
Пример

A Fтр

mg

A( F ) F cos  AB

A( Fтр ) Fтр  AB

A( mg )0

F

B

r

r  AB
Fтр const
18
б) Работа силы тяжести
z
A
z0

P
H
Px 0 ,Py 0 ,Pz  mg
Воспользуемся (1) и вычислим
работу силы тяжести на
перемещении AB:
B
B
A AB   Px dx  Py dy  Pz dz 
A
z1
z 1 y  mg  dz  mg(z1  z 0 )
z
AAB (mg )  mg ( z0  z1 ) (2)
x
0
или
AAB (mg )   mgH
(3)
19
в) Работа линейной силы упругости
Fупр cl
l
l нач
l
l x
F упр x  cx
M

O F упр
A( F упр
Fупр y  F упр z 0
x
x1
c
2
2
) cxdx  c  xdx  ( x 1  x0 )
AB
x0
2
x0  l нач
x 1  l кон
2
2
c
A( Fупр ) ( lнач lкон ) ( 4 )
2
20
§ 4. Теорема об изменении кинетической
энергии материальной точки
  
ma  F dr 
2
mv
  dv
mv dv m
d
2
2

dv   
m dr  F dr
dt
2
2
, тогда
mv d
d
A (5 )
2
Дифференциал кинетической энергии материальной
точки равен элементарной работе всех сил,
действующих на точку
21
Кинетической энергией материальной точки называется
скалярная величина, равная половине произведения
массы точки на квадрат ее скорости
mV
T
2
2
22
 mV 
V d  2   M dA
0
0
V1
Интегрируем (5):
m V12
2

2
m V0
2
2
M1
  AFk  6
n
k 1
Изменение кинетической энергии материальной
точки на некотором ее перемещении равно сумме
работ сил, действующих на точку на этом же
перемещении
23
§ 5 Несвободное движение точки
(Принцип Даламбера)
Уравнения движения или условия равновесия можно
получить, положив в основу другие общие положения,
называемые принципами механики
Предложил их в XVIII веке французский ученый
Жан Лерон Д’Аламбер
24
Жа́н Леро́н Д’Аламбе́р
(фр. Jean Le Rond d'Alembert;
16 ноября 1717 —
29 октября 1783)
французский философ,
механик и математик
25
5.1. Принцип Даламбера
ma  F  R
a
св
 F  R   ma   0
a
F  ma
ин
св
- векторную величину, равную по
модулю ma и направленную в
противоположную сторону ускорения,
называют силой инерции
26
F R F 0
a
св
ин
- уравнение принципа
Даламбера
Если движущуюся точку в некоторый момент
времени остановить, приложив к ней силу инерции, то
образовавшаяся совокупность сил – активной,
реакции связи и силы инерции – будет представлять
собой уравновешенную систему сил
27
Можно применять и для системы материальных точек,
только необходимо помнить, что
•никакие реальные силы инерции на точку не действуют,
это фиктивные силы
•никакого равновесия нет, а есть движение, и уравнения
статики записываются формально
•силы инерции вводят только тогда, когда для решения
задачи применяют принцип Даламбера
28
5.2. Относительное движение точки
Основной закон динамики, общие теоремы и уравнение
принципа Даламбера выполняются только в
инерциальных системах отсчета!!!
maабс   Fk
aабс  aотн  aпер  aкор
k
maотн   Fk   maпер    maкор 
k
ин
пер
F
 maпер
ин
кор
F
maотн   Fk  F
ин
пер
 maкор
F
ин
кор
k
29
Все уравнения и теоремы механики для относительного
движения точки составляются так же, как уравнения
абсолютного движения, если при этом к действующим на
точку силам добавить переносную и кориолисову силы
инерции!
5.3. Частные случаи
•
если подвижные координатные оси движутся
поступательно, то
ин
кор
F
•
0
ин
и maотн   Fk  Fпер
k
если подвижные координатные оси перемещаются
поступательно, равномерно и прямолинейно, то
ин
ин
Fкор
 Fпер
0
и maотн   Fk
k
30
•
если точка по отношению к подвижным осям
находится в покое, то для нее aотн  0 и Vотн  0
ин
кор
F
•
если
0
тогда
ин
F

F
 k пер  0
k
ин
кор
F
0
ин
, но Fкор
 Vотн и
ин 
Fкор
0
dV
ин 
и m
  Fk   Fпер
dt
k
•
если
ин
ин
Fкор
 Fпер
0
aотн
, то
Fk

  aпер     aкор 
k m
31