Вопросы по курсу «Алгебра» для студентов 1 курса специальности «Математика» 1. Операции над множествами и их свойства. Декартово произведение множеств (определение, свойства). 2. Отношения и отображения (функции), отношение порядка (определение, примеры). 3. Отношение эквивалентности (определение, примеры) 4. Теорема о разбиении, фактор-множества. 5. Функции и алгебраические операции (определение, свойства). 6. Ассоциатиность композиции функций, обратные функции. 7. Мощность множества. Конечные множества. 8. Натуральные числа (аксиоматика). Метод математической индукции. 9. Операции сложения и умножения натуральных чисел и их свойства. 10. Кольца и поля (определение, примеры). Кольцо вычетов целых чисел. 11. Теорема о вложении в поле частных. Формализация рациональных чисел. 12. Группы (определения и примеры). 13. Группы подстановок. Определение, примеры. 14. Четность подстановки и ее свойства. 15. Разложение подстановок в произведение транспозиций и в произведение независимых циклов. 16. Определение четности подстановки по декременту. 17. Порядок группы. 18. Фактор-группа. 19. Теорема о гомоморфизмах. 20. Кольцо многочленов (определение, примеры). 21. Степень многочлена (определение, свойства). 22. Корни многочленов, кратные корни. Теорема о числе корней. 23. Критерий кратности корня. 24. Интерполяционные формулы. 25. Деление многочленов с остатком. Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида. 26. Теорема о разложении на неприводимые множители. 27. Теорема о присоединении корня. 28. Алгебраические и трансцендентные расширения полей. 29. Поле комплексных чисел (определение, примеры). 30. Тригонометрическая форма комплексных чисел, формула Муавра. 31. Группа корней из единицы.