Распределение простых чисел Часть I. Асимптотический закон

Распределение простых чисел
Часть I. Асимптотический закон распределения простых чисел
1. Простые числа. Основная теорема арифметики. Функция π(x). Бесконечность
множества простых чисел. Решето Эратосфена. Верхняя оценка π(x).
2. Формула суммирования Абеля. Функция Мангольдта Λ(n). Функция Чебышева ψ(x). Связь π(x) и ψ(x). Теорема Чебышева о правильном порядке роста π(x) и
ψ(x).
3. Дзета -функция Римана ζ(s). Тождество Эйлера. Дзета -функция как производящая функция в теории чисел. Функция Римана ξ(s). Функциональное уравнение
ζ(s). Произведение Вейерштрасса для ξ(s). Нули ζ(s). Теорема Валле -Пуссена об
отсутствии у ζ(s) нулей в окрестности прямой Re s = 1.
4. Метод комплексного интегрирования. Формула Перрона. Выражение ψ(x)
через нули ζ(s). Асимптотический закон распределения простых чисел. Вычисление
некоторых сумм по простым числам.
Часть II. Простые числа в арифметической прогрессии
1. Первообразные корни. Определение характеров Дирихле. Построение таблиц
характеров. Чётные и нечётные характеры. Примитивные характеры. Суммы Гаусса.
2. Функции L(s, χ) и ξ(s, χ). Функциональное уравнение ξ(s, χ). Отсутствие у
L(s, χ) комплексых нулей вблизи единичной прямой. Вещественный нуль L(s, χ).
Теорема Зигеля. Функции π(x; k, l) и ψ(x; k, l). Асимптотический закон распределения простых чисел в арифметической прогрессии.
3. Большое решето. Функция N (σ, T, χ). Плотностая теорема для L -функций
Дирихле. Неравенство Габриэла. Теорема Бомбьери -Виноградова. Проблема Титчмарша.
Часть III. Особые свойства простых чисел
1. Теорема Эрдеша -Ранкина о больших расстояниях между последовательными
простыми числами.
2. Теорема Голдстона -Пинтца -Йилдирима о малых расстояниях между последовательными простыми числами.
3. Цифры в двоичной записи простых чисел (теорема Мадуи -Ривата).
1