Программа курса «Основы комбинаторики и теории чисел»

Программа курса
«Основы комбинаторики и теории чисел »
1. Основные правила комбинаторики: правило сложения, правило
умножения, принцип Дирихле. Теорема о раскраске множества в два
цвета.
2. Размещения, перестановки и сочетания. Формулы для чисел
размещения и сочетания с повторениями и без повторений. Бином
Ньютона,
полиномиальная формула. Простейшие тождества.
Формулы для сумм степеней натуральных чисел.
3. Формула включения и исключения. Знакопеременные тождества.
4. Выравнивание последовательностей в биоинформатике. Число всех
выравниваний: рекуррентная формула, асимптотика (б/д). Понятие об
отношении
эквивалентности.
Число классов
эквивалентных
выравниваний.
5. Основы теории делимости: наибольший общий делитель, наименьшее
общее кратное, алгоритм Евклида.
6. Простые числа. Основная теорема арифметики.
7. Суммы, распространенные на делители числа. Функция Мёбиуса.
8. Формула обращения Мёбиуса.
9. Применение формулы обращения Мёбиуса для подсчета числа
циклических последовательностей. Циклические последовательности с
фиксированным количеством символов каждого типа (обязательное
упражнение).
10.Общая формула обращения Мёбиуса для частично упорядоченных
множеств. Суммы по делителям и формула включений и исключений
как частные случаи.
11.Задачи о разбиениях чисел на слагаемые. Упорядоченные и
неупорядоченные разбиения. Рекуррентные формулы. Количество всех
упорядоченных разбиений на произвольные слагаемые. Диаграммы
Юнга. Теоремы Эйлера о равенстве количеств неупорядоченных
разбиений. Формула Харди – Рамануджана (б/д).
12.Линейные
рекуррентные
соотношения
с
постоянными
коэффициентами. Соотношения 2ого порядка – с доказательством,
соотношения большего порядка – только формулировка.
13.Степенные ряды и производящие функции. Пример тождества,
доказываемого с помощью степенных рядов. Теоремы о сходимости
степенных рядов (б/д). Числа Фибоначчи и Каталана. Извлечение
корней из степенных рядов. Формула для числа Каталана. Меандры.
Нахождение сумм с участием биномиальных коэффициентов, чисел
Фибоначчи и т.д.
14.Функция Эйлера. Формула с произведением по простым числам.
15.Основы теории сравнений. Системы вычетов. Теоремы Эйлера и
Ферма.
16.Значения некоторых биномиальных коэффициентов по данному
модулю.
17.Теорема Шевалле.
18.Проблема Эрдеша – Гинзбурга – Зива. Решение проблемы при d=1 и
n=p (нижняя и верхняя оценки). «Почти решение» проблемы при d=2 и
n=p (нижняя и верхняя оценки).
19.Сравнения второй степени. Квадратичные вычеты и невычеты.
Символы Лежандра.
20.Показатели. Первообразные корни. Существование по модулю 2, 4, p,
p^a, 2p^a. Несуществование по другим модулям (б/д). Индексы.
Несколько слов об алгоритмических проблемах дискретного
логарифмирования.
21.Распределение простых чисел в натуральном ряде. Функции \pi(x),
\theta(x), \psi(x). Теорема о равенстве нижних и верхних пределов.
Теорема Чебышёва.
22.Асимптотический закон распределения простых (б/д). «Дырки» между
соседними простыми числами (б/д).
23.Детерминированный алгоритм проверки числа на простоту.
24.Теорема Дирихле о диофантовых приближениях. Теорема Гурвица
(б/д). Неулучшаемость теоремы Гурвица.
25.Конечные цепные дроби. Каноническая запись. Подходящие дроби.
Рекуррентные соотношения для числителей и знаменателей
подходящих дробей. Следствия: несократимость подходящих дробей,
возрастание дробей с четными номерами и убывание подходящих
дробей с нечетными номерами. Бесконечные цепные дроби.
Процедура разложения данного числа в цепную дробь. Теорема о
сходимости полученной дроби к данному числу (б/д).
Передоказательство теоремы Дирихле. Медианта. Промежуточные
дроби. Нижняя оценка величины |alpha-p_n/q_n|. Зависимость
качества аппроксимации от скорости роста неполных частных. Золотое
сечение как самое плохо приближаемое число в терминах цепных
дробей. Теорема о периодичности дроби для квадратичной
иррациональности (б/д).
26.Понятие о спектре Лагранжа. Гипотеза Коробова – Бахвалова –
Зарембы.
27.Теорема Минковского о выпуклом теле: двумерный случай. Еще одно
доказательство теоремы Дирихле.
28.Решетки в пространствах. Базис и определитель. Многомерная
теорема Минковского. Критический определитель. Теорема Малера о
компактности (б/д). Теорема Минковского – Главки: общий случай б/д;
случай октаэдра – с д-вом. Теорема Суиннертона-Дайера о числе точек
критической решетки на границе тела (б/д).
Литература:
1. Н.Я. Виленкин. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.
2. Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов. Алгебра и теория чисел (сборник задач). –
М.: МЦНМО, 2002.
3. М. Холл. Комбинаторика. – М.: Мир, 1970.
4. А.М. Райгородский. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике.
– М.: МЦНМО, 2007.
5. А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский. Введение в теорию
чисел. – Изд-во Московского Университета, 1995.
6. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. – Москва–Ижевск: НИЦ
"Регулярная и хаотическая динамика", 2003.
7. К. Чандрасекхаран. Арифметические функции. – М.: Наука, 1975.
8. Дж.В. Касселс. Введение в геометрию чисел. – М.: Мир, 1965.