Вопросы по курсу «Основы комбинаторики и теории чисел »

Вопросы по курсу
«Основы комбинаторики и теории чисел »
1. Основные правила комбинаторики: правило сложения, правило
умножения, принцип Дирихле. Примеры применения. Теорема о
раскраске множества в два цвета.
2. Размещения, перестановки и сочетания. Формулы для чисел
размещения и сочетания с повторениями и без повторений. Бином
Ньютона, полиномиальная формула.
3. Простейшие тождества (6 штук). Треугольник Паскаля. Формулы для
сумм степеней натуральных чисел как следствия из одного тождества.
4. Формула включения и исключения. Знакопеременные тождества (2
штуки).
5. Выравнивание последовательностей в биоинформатике. Примеры.
Минимальная и максимальная длина выравнивания в терминах длин
исходных
последовательностей.
Число
всех
выравниваний:
рекуррентная формула; асимптотика (б/д).
6. Выравнивание последовательностей в биоинформатике. Минимальная
и максимальная длина выравнивания в терминах длин исходных
последовательностей. Понятие об отношении эквивалентности. Классы
эквивалентных выравниваний и их число: рекуррентная и точная
формулы.
7. Основы теории делимости: наибольший общий делитель, наименьшее
общее кратное, алгоритм Евклида.
8. Простые числа. Основная теорема арифметики (с доказательством).
9. Суммы, распространенные на делители числа. Функция Мёбиуса.
Формула обращения Мёбиуса.
10.Применение формулы обращения Мёбиуса для подсчета числа
циклических последовательностей.
11.Применение формулы обращения Мёбиуса для подсчета числа
циклических последовательностей с фиксированным количеством
символов каждого типа.
12.Частично упорядоченные множества. Примеры. Общая формула
обращения Мёбиуса. Суммы по делителям и формула включений и
исключений как частные случаи.
13.Задачи о разбиениях чисел на слагаемые. Упорядоченные и
неупорядоченные разбиения. Рекуррентные формулы. Количество всех
упорядоченных разбиений на произвольные слагаемые.
14.Диаграммы Юнга. Две теоремы Эйлера о равенстве количеств
неупорядоченных разбиений. Бесконечное произведение (1-х)(1x^2)(1-x^3)… и его связь с разбиениями: два эквивалентных
утверждения б/д. Формула Харди – Рамануджана (б/д).
15.Линейные
рекуррентные
соотношения
с
постоянными
коэффициентами. Соотношения 2ого порядка: две теоремы. Числа
Фибоначчи (рекурсия и явная формула).
16.Линейные
рекуррентные
соотношения
с
постоянными
коэффициентами. Соотношения 2ого порядка: две теоремы.
Соотношения произвольного порядка – теорема б/д.
17.Формальные степенные ряды. Операции с формальными рядами.
Деление в столбик. Пример. Пример тождества, доказываемого с
помощью степенных рядов. Формулировка основного принципа
доказательства подобных тождеств.
18.Степенной ряд как функция вещественного аргумента. Теоремы о
сходимости степенных рядов (б/д). Производящая функция
последовательности. Производящая функция для чисел Фибоначчи.
Нахождение сумм с участием биномиальных коэффициентов, чисел
Фибоначчи и т.д.
19.Извлечение корней из формальных степенных рядов.
20.Определения чисел Каталана. Формула для n-ого числа Каталана.
Меандры: определение, связь с числами Каталана и сводка
результатов.
21.Функция Эйлера. Формула с произведением по простым числам.
22.Основы теории сравнений. Системы вычетов. Теоремы Эйлера и
Ферма.
23.Значения некоторых биномиальных коэффициентов по данному
модулю: C_{2p-1}^p, C_{2p}^{p}, C_{2p-1-j}^{p-j}.
24.Теорема Шевалле. Следствие из нее. Обобщение на случай систем
сравнений (б/д).
25.Проблема Эрдеша – Гинзбурга – Зива. Решение проблемы при d=1 и
n=p (нижняя и верхняя оценки).
26.Проблема Эрдеша – Гинзбурга – Зива. «Почти решение» проблемы при
d=2 и n=p: нижняя оценка, формулировка верхней оценки и
доказательство основной леммы с помощью теоремы Шевалле.
27.Проблема Эрдеша – Гинзбурга – Зива. «Почти решение» проблемы при
d=2 и n=p: нижняя оценка, формулировка основной леммы и
доказательство верхней оценки.
28.Сравнения второй степени. Квадратичные вычеты и невычеты.
Символы Лежандра.
29.Показатели. Первообразные корни. Формулировка теоремы о
существовании и несуществовании первообразных корней по разным
модулям. Доказательство для модулей 2, 4, p.
30.Показатели. Первообразные корни. Формулировка теоремы о
существовании и несуществовании первообразных корней по разным
модулям. Доказательство для модулей 2, 4, p^a, 2p^a.
31.Показатели. Первообразные корни. Формулировка теоремы о
существовании и несуществовании первообразных корней по разным
модулям. Индексы по основанию первообразного корня. Несколько
слов об алгоритмических проблемах дискретного логарифмирования.
32.Распределение простых чисел в натуральном ряде. Функции \pi(x),
\theta(x), \psi(x). Теорема о равенстве нижних и верхних пределов.
Асимптотический закон распределения простых (б/д). «Дырки» между
соседними простыми числами (б/д).
33.Распределение простых чисел в натуральном ряде. Теорема
Чебышёва. Асимптотический закон распределения простых (б/д).
«Дырки» между соседними простыми числами (б/д).
34.Детерминированный алгоритм проверки числа на простоту.
35.Теорема Дирихле о диофантовых приближениях. Теорема Гурвица
(б/д). Неулучшаемость теоремы Гурвица. Понятие о спектре Лагранжа.
36.Конечные цепные дроби. Каноническая запись. Подходящие дроби.
Рекуррентные соотношения для числителей и знаменателей
подходящих дробей. Следствия: несократимость подходящих дробей,
возрастание дробей с четными номерами и убывание подходящих
дробей с нечетными номерами.
37.Бесконечные цепные дроби. Процедура разложения данного числа в
цепную дробь. Теорема о сходимости полученной дроби к данному
числу (б/д). Взаимное расположение данного числа и подходящих
дробей его цепной дроби. Передоказательство теоремы Дирихле.
Медианта. Промежуточные дроби. Нижняя оценка величины |alphap_n/q_n|. Зависимость качества аппроксимации от скорости роста
неполных частных. Золотое сечение как самое плохо приближаемое
число в терминах цепных дробей. Теорема о периодичности дроби для
квадратичной иррациональности (б/д). Понятие о спектре Лагранжа.
Гипотеза Коробова – Бахвалова – Зарембы.
38.Теорема Минковского о выпуклом теле: двумерный случай. Еще одно
доказательство теоремы Дирихле.
39.Решетки в пространствах. Базис и определитель. Многомерная
теорема Минковского. Критический определитель. Теорема Малера о
компактности (б/д).
40.Теорема Минковского – Главки: общий случай б/д; случай октаэдра – с
д-вом. Теорема Малера о компактности (б/д). Теорема СуиннертонаДайера о числе точек критической решетки на границе тела (б/д).
Литература:
1. Н.Я. Виленкин. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.
2. Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов. Алгебра и теория чисел (сборник задач). –
М.: МЦНМО, 2002.
3. М. Холл. Комбинаторика. – М.: Мир, 1970.
4. А.М. Райгородский. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике.
– М.: МЦНМО, 2007.
5. А.И. Галочкин, Ю.В. Нестеренко, А.Б. Шидловский. Введение в теорию
чисел. – Изд-во Московского Университета, 1995.
6. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. – Москва–Ижевск: НИЦ
"Регулярная и хаотическая динамика", 2003.
7. К. Чандрасекхаран. Арифметические функции. – М.: Наука, 1975.
8. Дж.В. Касселс. Введение в геометрию чисел. – М.: Мир, 1965.