[ массовые явления и закон больших чисел - закон больших чисел в форме Чебышева – пример - теорема Чебышева - теорема Бернулли - центральная предельная теорема Ляпунова ] Массовые явления и закон больших чисел Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему – математическому ожиданию этого распределения. Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа одинаковых и независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая. В теории вероятностей большое значение имеет установление закономерностей, происходящих с вероятностями близкими единице. Особую роль играют закономерности, возникающие в результате наложения большого числа независимых или слабо зависимых случайных факторов. Массовые явления и закон больших чисел Рассмотрим случайные величины xn , являющиеся некоторыми заданными симметрическими функциями от первых n величин последовательности zn = fn (1, 2, … , n ) . Если существует последовательность a1, an, … ,an, .. , такая что при любом e > 0 lim P {| n an | ε } 1 n то последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными функциями fn . Часто эта функция – среднее арифметическое ai M i . Слабый закон больших чисел. 1 n i ni 1 величин i , Закон больших чисел в форме Чебышева Для любой случайной величины , имеющей конечную дисперсию, при каждом e > 0 имеет место неравенство P{|ξ Mξ | ε} Неравенство Чебышева. Доказательство P{|ξ Mξ ) ε} f(x) |x dFξ (x) |x Mξ | ε M M-e M+e x (x Mξ ) 2 dFξ (x) |x Mξ | ε 1 dFξ (x) 2 ε |x Mξ | ε |x Mξ | 1 ε ξ (x) MξdF | ε 1 ε2 Dξ ε2 Dξ (x Mξ ) dFξ (x) 2 ε 2 Пример @ Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, найти оценку того, что случайная величина не попадет в интервал ( m - 3s ; m + 3s ) Решение f(x) D s2 1 P(| m | 3s) 2 e ( 3s) 2 9 Это самая верхняя граница для оценки Точное решение 1 P(| m | 3s) 1 2 m m-3s m+3s x m 3s s e m s 3 s t2 2 dt 1 2( 3 ) 0.0027 Теорема Чебышева Если 1, 2, … , n – последовательность попарно независимых с.в., имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной D1 < C, D2 < C ,...., то каково бы не было постоянное e > 0 , справедливо следующее: Доказательство n n k 1 k lim P n n k k 1 n n , M Mk k 1 k 1 n e 1 n D C Ho ne Mk На основании неравенства Чебышева n D P{| M | e} > 1 2 e P{| M | e} > 1 n 2 Dk k 1 n2 C n Перейдем к пределу и получим доказательство Центральная предельная теорема Ляпунова Центральная предельная теорема Ляпунова относится к законам распределения случайных величин и устанавливает условия, при которых возникает нормальный закон распределения. Пусть 1, 2, .... - независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией 0 D1 . Тогда имеет место слабая сходимость: 1 2 ... n nM1 N ( 0,1) nD1 последовательности «центрированных и нормированных» сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению. Если X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин X1, X2, …., Xn , влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то величина X имеет распределение вероятности, близкое нормальному.