Акр.Х. Бегматов, д-р физ.-мат. наук Самаркандский государственный университет (Узбекистан, 703004, Самарканд, Университетский бульвар, 15, тел.(+998662) 310632, Е-mail: akrambegmatov@mail.ru ) З.Х. Очилов, ассистент Самаркандский государственный университет (Узбекистан, 703004, Самарканд, Университетский бульвар, 15, тел.(+998662) 310632, Е-mail: zarifochilov@mail.ru ) ОТОБРАЖЕНИЯ ДАЛАМБЕРА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СИММЕТРИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ Аннотация. В работе исследуются отображения областей, ограниченных жордановыми кривыми. Получена теорема о возможности отображений на каноническую область для одного класса ограниченных областей, симметричных по отношению к оси ординат. Сформулирована соответствующая обратная задача и доказана теорема единственности ее решения. Библиография 7 наименований. В работе М. М. Лаврентьева [1] изучались гиперболические отображения, связанные с задачами томографии. Гиперболическими называются отображения областей, осуществляемых с помощью решений систем гиперболических уравнений. Доказаны теоремы о возможности отображения выпуклой области общего вида на каноническую область и теоремы единственности для обратных задач томографии. Рассмотренные задачи связаны с тремя научными направлениями. Это, вопервых, задача Дирихле для уравнения Даламбера [2]. Во-вторых, это краевые задачи для системы уравнений, описывающих малые колебания вращающейся жидкости (см. [3]). В-третьих, это задачи газовой динамики, связанные с изучением систем гиперболических уравнений, описывающих сверхзвуковое течение идеального газа. Постановки задач здесь принадлежат М.А.Лаврентьеву, а первые результаты принадлежат М.М. Лаврентьеву и Б.В. Шабату [4-6] (см. также [7]) . Как известно, простейшей системой гиперболических уравнений является система Даламбера: u v 0, 0. y y Следуя [1], отображения, которые осуществляются с помощью решений этой системы, назовем отображениями Даламбера. В настоящей работе рассматриваются отображения областей, ограниченных жордановыми кривыми. Получена теорема о возможности отображений на каноническую область для одного класса ограниченных областей, симметричных по отношению к оси OY. Сформулирована соответствующая обратная задача и доказана теорема единственности ее решения. Пусть D ─ область, ограниченная кривой C , которая состоит из четырёх частей: C C1 C 2 C 3 C 4 1 1 C1 {( x, y ) : y f1 ( x), x [0,1], f1 (0) , f1 (1) 1} 2 C2 {( x, y ) : y f 2 ( x), x [0,1], f 2 (0) 0, f 2 (1) 1} C3 {( x, y ) : y f 3 ( x), x [1,0], f 3 (0) 0, f 3 (1) 1} 1 C4 {( x, y ) : y f 4 ( x), x [1,0], f 4 (1) 1, f 4 (0) } 2 Все функций f k (x) монотонны и непрерывны. D {( x, y) : f 1 f 2 , x [1,1]}, где функция f k ( x ), ( k 1, 2) удовлетворяют следующим условиям. 1) f 1 ( x) f 2 ( x), 1 x 1 Область (2) 2) f k ( x) f k ( x) 3) f k (1) f k (1) 1, (3) f 2 (0) 0, f1 (0) 1 2 (4) Рассмотрим отображения Даламбера, осуществляемые функциями u (x) , v ( y) . Обратными к ним функции x 1 (u ), y 1 (v) соответственно. Отображения, которые осуществляются функциями u (x) , v ( y) , D1 плоскости (u, v) : D1 {(u, v) : F1 (u) v F2 (u )} . Fk (u ), k 1, 2 определяются следующим Здесь функции v ( y ) ( f k ( x)) ( f k ( (u ))) Fk (u ), k 1,2 . переводят область D в область образом: Определенное таким образом отображение переводит область D в D1 плоскости (u , v ) , ограниченную углом v F1 (u ) | u |, u [1,1] область и кривой 1 v F2 (u ), F2 (1) F2 (1) 1, F2 (0) , u 1,1. 2 Рассмотрим теперь отображение, переводящее область D1 в плоскости (u1 , v1 ) : Область D2 D2 u1 , v2 : F1 (u1 ) v1 F2 (u1 ) ограниченна двумя углами : 2 область D2 F1 (u1 ) u1 , u1 1, 1 F1 (u1 ) 1 1 u1 , u1 1, 1. 2 2 Пусть это отображение определяется функциями u1 2 (u) и v1 2 (v) . Справедлива Теорема 1. Пусть область D плоскости ( x, y ) такова, что функция f1 ( x) удовлетворяет условиям (2)-(4). Тогда существует отображение Даламбера области D на области v1 | u1 | и v1 D2 плоскости (u1 , v1 ) , ограниченной функцией 1 1 | u1 | . 2 2 Перейдем к рассмотрению обратной задачи для области, удовлетворяющей условиям, приведенным в теореме 1. Очевидно, что если функции k ( y ), (k 1, 2) являются обратными по отношению к функциям f k ( x), (k 1, 2) , т.е. k [ f k* ( x)] x , то D {( x, y) : 2 ( y) x 1 ( y), y [0,1]} Обозначим u * ( x) f 2* ( x) f1* ( x), v * ( y ) 1 ( y ) 2 ( y ) Обратная задача А. Требуется определить функции f k (x) или k ( y ) по заданным функциям u(x) и v(y) . Теорема 2. Решение обратной задачи А единственно. Список литературы 1. Лаврентьев М.М. Математические задачи томографии и гиперболические отображения // Сиб.мат.журн. 2001. Т. 42, № 5. С. 1094-1105. 2. John F., The Dirichlet problem for a hyperbolic equation, Amer. J. Math., 1941, V.63, №1, p 141-154. 3. Зеленяк Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными, Новосибирск, НГУ, 1970. 4. Лаврентьев М.М. Об одной краевой задаче для гиперболической системы // Мат. сб. 1956. Т.38, № 4. С. 451-464. 5. Шабат Б.В. Об аналоге теоремы Римана для линейных гиперболических систем дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1956. Т. 11, № 5. С. 101-105. 6. Шабат Б.В. О гиперболических квазиконформных отображениях // Некоторые проблемы математики и механики. Л.: Наука, 1970. С. 251-266. 7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М. «Наука», 1977. 3