Модель передачи информации в популяции постоянной

Модель передачи
информации в популяции
постоянной численности
Процесс передачи информации
Одним из важнейших классов систем воспроизводства является класс систем
передачи информации.
Передача информации - это процесс создания информационных копий,
самовоспроизводство объекта как носителя данной информации.
Виды передачи информации:

Культурное наследование

Наследование на генетическом уровне
Математическое моделирование
процессов отбора
2
Модель передачи информации в популяции
постоянной численности
Пусть существует популяция, численность которой не меняется с
течением времени, т.е коэффициент рождаемости равен коэффициенту
смертности
( a  0).
Пусть z (t ) - количество носителей информации в момент времени t,
v (t ) – количество особей, которые не обладают информацией.
( z (t )  v(t )) –это общая численность популяции.
Примем гипотезу ”эффективных встреч”:
“Передача осуществляется пропорционально произведению
численностей vz с постоянным коэффициентом c  0 - коэффициент
передачи (обучения) ”.
Динамика численностей задается:
v'  az  cvz
z '  cvz  az
И в любом момент времени верно v  z  const .
Математическое моделирование
процессов отбора
3
Уравнения динамики – это случай уравнений химической кинетики:
c
V Z 

2Z
a
Z

V
Сделаем замену
z 0


v  1  z
и
и получим
z
z '  z (c  cz  a),
ca
.
c
Если c  a z (0)  0, то второе состояние равновесия устойчиво, первое не
устойчиво и численность обученных особей стремиться к значению c  a
c
необученных особей стремиться к a .
c
Информация сохраняется.
Если c  a, то устойчивым является только состояние z  0, вершина
симплекса (1,0) является глобально асимптотически устойчивой на
симплексе, обученные особи со временем вытесняются из популяции
необученными, информация в целом теряется.
Математическое моделирование
процессов отбора
4
Модель, описывающая динамику n видов
альтернативной информации в популяции со
стабильной численностью особей.
Пусть есть n видов информации, особь может обладать только одним из них.
Пусть zi (t ) - кол-во носителей i-ого вида информации, (1  i  n), v (t ) - кол-во
необученных особей, ci - коэффициент передачи, тогда уравнение динамики
имеет вид:
n
n
i 1
i 1
v '   ciziv  a  zi,
zi '  azi  czv
i i .
Эти уравнения соответствуют механизму химической кинетики:
ci
V  Zi 

2 Zi
a
Zi 

V
Математическое моделирование
процессов отбора
5
Рассмотрим подсистему из n последних уравнений относительно zi .
1
Сделаем степенную замену
при этом
yi  zi ci
1 c1i 1
1 c1i 1
a c1i
a
y ' i  zi z ' i  zi (azi  ciziv )   zi v   yi  vyi.
ci
сi
ci
ci
В полученной системе сделаем нормирующую замену
xi 
yi
n
y
,
j
n
a
a
и тогда придем к системе xi '   xi  xi  xi
ci
i 1 ci
j 1
на стандартном симплексе.
Если c1  max ci ,
поэтому
то x1(t )  1
yi (t )  0,
и
xi (t )  0, (2≤ i ≤ n),
zi (t )  0,
t  .
Математическое моделирование
процессов отбора
6
n
 (t )  
Обозначим
i 2
  0,
  0,
cizi
z1
и
 (t ) 
n

i 2
zi
z1
t  .
Получим систему
v '  (c1   ) z1v  a (1   ) z 1,
z '  az1  c1 z1v1.
Для любого (γ>0) существует такое t0 , что при t> t0 справедливо
a (1   ) a
  .
c1  
c1
Пусть a  c1, , то
первого вида.
Если a  c1, то
z1 
c1  a
c1
и в системе остается информация
z1  0 и информация теряется.
Математическое моделирование
процессов отбора
7
Задача параметрической оптимизации.
Систему передачи информации можно рассматривать как систему
воспроизводства. Рассмотрим задачу параметрической оптимизации с точки
зрения носителей информации первого вида. Критериями существования
будут величины
x1 ,
z1
или
x '1
,
x1
z '1
.
z1
Пусть эти носители могут осуществлять различные варианты поведения,
влияющие на коэффициент передачи: c1 = c0 +αu , где 0 ≤ u≤ U –
определяется характером поведения c0 , α –положительная постоянная.
Коэффициент смертности первого вида выражается как a+ βu , где β –
положительная постоянная.
Математическое моделирование
процессов отбора
8
Динамика системы определяется уравнениями
n
n
i 2
i 2
v '  (c1   ) z1v   ciziv  (a   u ) z1  a  zi,
z ' 1  (c 0   u ) z1v  (a   u ) z1,
z ' i  ciziv  azi.
Найдем значение параметра u, которое максимизирует критерий ‹z1›.
Пусть
a  u
f (u ) 
c 0  uи
g (u ) 
c 0  u  a  
c 0  u
При этом
g (u )  1  f (u ).
Задача максимизации–найти максимум g (u ) на отрезке 0,U  при
g (u ) . 1  A
Оптимальными значениями параметра будут u  U (функция монотонно возрастает),
u  0 (функция монотонно убывает), u - любое из 0,U .
Математическое моделирование
процессов отбора
9
Если параметры системы таковы, что при изменении величины u коэффициент
передачи растет быстрее коэффициента смертности, то целесообразно
пожертвовать продолжительностью жизни ради передачи информации, если
нет, то для сохранения информации целесообразно способствовать
увеличению продолжительности жизни его носителей, максимально снижая
активность передачи информации.
Математическое моделирование
процессов отбора
10