Модель передачи информации в популяции переменной численности Рассмотрим модель передачи информации в популяции, численность которой может изменяться с течением времени. – количество обученных особей в момент времени t; – количество необученных особей; – общее количество особей в популяции – удельный вес обученных особей; – удельный вес необученных; – коэффициент размножения необученных особей и коэффициент смертности обученных, ; – коэффициент передачи информации, . При сделанных гипотезах динамика численностей задается системой уравнений: (5.7) . Математическое моделирование процессов отбора 2 -правые части системы (5.7) удовлетворяют условию Липшица неотрицательных значений переменных v и z, кроме точки (0,0). в области -в точке (0,0) значения правых частей можно непрерывно доопределить нулем, сохраняя при этом выполнение условия Липшица. - система однородна по переменным v,z. - для (5.7) выполняются условия квазиположительности при любых неотрицательных начальных условиях ее решение будет неотрицательным. Математическое моделирование процессов отбора 3 Нормирующая замена: , тогда , (5.8) Система на стандартном симплексе, представленная через функции перехода и Математическое моделирование процессов отбора 4 Если , т.е. Если , т.е. , то при , то при Если , то любая точка симплекса является стационарной, с течением времени пропорция обученных и необученных особей в популяции не изменяется. Математическое моделирование процессов отбора 5 Исследуем поведение исходной системы (5.7). – общая численность популяции . , Из (5.7) получим: Математическое моделирование процессов отбора 6 Если w 0 , то начиная с некоторого момента v 0, z (кроме случая ), поэтому 0. Математическое моделирование процессов отбора 7 Если , то, начиная с некоторого момента, w ∞, (кроме случая v ), поэтому ∞. Численность же обученных может изменяться по-разному. Перепишем второе уравнение системы (5.7) в виде Математическое моделирование процессов отбора 8 - : начиная с некоторого момента 1 - : для любого t - : система (5.7) принимает вид: иz z монотонно убывает. Если ∞; , то z 0; , Поделим втрое уравнение на первое. . Решая, получим: , где p определяется из начальных условий Т.к. v ∞, то z . . Математическое моделирование процессов отбора 9 - : не зависят от t, поэтому рассмотрим начальные условия: 1. : w 0, z 0, v 0; 2. : w, z, v не изменяются; 3. : w ∞, z ∞, v ∞. Математическое моделирование процессов отбора 10 Математическое моделирование процессов отбора 11 Как следует из предыдущей главы, для оценки существования системы носителей информации могут быть использованы следующие функционалы < z>, < > , < > Пусть , , или < >. . Решим задачу параметрической оптимизации с указанными критериями. < > → max: < > → max при Математическое моделирование процессов отбора 12 < z > → max: < z > → max при Математическое моделирование процессов отбора 13 Найдем значение параметра u, при котором критерий < > принимает наибольшее значение. Из уравнений (5.8) следует, что . Поскольку c – постоянная, то . < > → max при Математическое моделирование процессов отбора 14 Рассмотрим задачу максимизации критерия < > при выборе параметра u. Из уравнений (5.7) следует, что При sup , но эта точная верхняя грань не достигается. Для максимизации критерия в случае, когда , значение параметра u следует выбирать сколь угодно близко к , оставляя его меньше Математическое моделирование процессов отбора 15 Проведенный анализ показывает, что решения задач оптимизации с разными критериями будут различными. Более того, рекомендации будут противоположными: для максимизации < > величину u нужно выбирать больше , выбор дает наихудший результат; для максимизации <z> величину u нужно выбирать меньше , выбор дает наихудший результат. Такие противоречия происходят из-за того, что здесь имеет место особый случай – величина z, характеризующая количество самовоспроизводящихся объектов системы, при некоторых вариантах поведения может стремиться к нулю или бесконечности. Математическое моделирование процессов отбора 16