Лекция 11. Теоремы Ляпунова
реклама
Теоремы Ляпунова Система дифференциальных уравнений в нормально форме относительно функций : (1) на симплексе Выразим первую переменную через остальные: Перейдем от системы (1) к системе: (2) на симплексе. Математическое моделирование процессов отбора 2 Первая теорема Ляпунова Пусть на симплексе задана знакоопределенная непрерывно дифференцируемая функция V(x). Пусть производная функции V(x), взятая в силу системы (2) является знакопостоянной, имеющей знак противоположный знаку функции V(x). Тогда состояние равновесия в начале координат будет устойчивым по Ляпунову. Функция V(x) при этом называется функцией Ляпунова для рассматриваемой системы. Математическое моделирование процессов отбора 3 Вторая теорема Ляпунова Пусть на симплексе S0 задана знакоопределенная функция V(x), производная которой, взятая в силу системы (2), является также знакоопределенной, имеющей знак противоположный знаку функции V(x). Тогда, если начало координат является состоянием равновесия, то оно является глобально асимптотически устойчивым на симплексе S0. Математическое моделирование процессов отбора 4 Потенциал как функция Ляпунова G- потенциальное векторное поле, если существует функция U(x2,…,xn), что o o U- потенциал поля G Математическое моделирование процессов отбора 5 Теорема Если начало координат является единственным состоянием равновесия для системы (2) на симплексе S0 и векторное поле G=(G2, … ,Gn), определенное правыми частями системы (2), потенциально, то начало координат глобально асимптотически устойчиво на симплексе S0. Математическое моделирование процессов отбора 6 Доказательство G- потенциально, значит, работа поля вдоль гладкой кривой, соединяющей точки A и B, не зависит от вида кривой: (3) Рассмотрим (3) вдоль участка фазовой траектории системы (1) при : = (4) Из (4) следует, что U строго монотонно возрастает, значит, производная функции U положительно определена на симплексе. : точка max для U; состояние равновесия системы (2); начало координат. U(x) - функция Ляпунова. По второй теореме Ляпунова начало координат будет глобально асимптотически устойчивым на симплексе S0. Математическое моделирование процессов отбора 7 Частные случаи функции Ляпунова на симплексе S0. В силу (2): (5) Если (5) всюду отрицательна на S0 ,за исключением начала координат, то начало координат глобально асимптотически устойчиво на S0. Рассмотрим (1) на Достаточное условие глобальной асимптотической устойчивости вершины (1,0,…,0): (6) Математическое моделирование процессов отбора 8 Достаточное условие глобальной состояния равновесия (1,0,…,0) : F1 (x1,…,xn)>0, т.к. асимптотической устойчивости (7) Если (7) всюду отрицательна на S0 ,за исключением начала координат, то начало координат глобально асимптотически устойчиво на S0. Рассмотрим (1) на симплексе S. Достаточное условие глобальной асимптотической устойчивости состояния равновесия (1,0,…,0): (8) Математическое моделирование процессов отбора 9 Согласно первой теореме о представлении, (8) приводится к виду: Достаточное условие глобальной устойчивости состояния равновесия в вершине симплекса: Математическое моделирование процессов отбора 10
