Системы близкие к системам отбора Введение С точки зрения практики бывает нецелесообразно различать случаи, когда в системе на стандартном симплексе: x1 1, t и x1 1 , t Например, у твердого тела, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, происходят микроскопические флуктуации – отклонения от абсолютно равномерного нагрева. В обыденной жизни эти флуктуации никто не замечает, и считается, что температура тела во всех точках одинакова. T1 t T2 t T3 t T1 T2 T3 В связи с этим имеет смысл выделить класс систем, близких по своему поведению к системам строгого отбора. Математическое моделирование процессов отбора 2 Определение . x j Fi(t,x1 ,...,xn ),i 1,n Система на стандартном симплексе S является близкой к системе отбора, если существует положительное число ε (0<ε<<1) такое, что при любых начальных условиях, принадлежащих симплексу, с ненулевой j-й координатой, найдется момент времени Т, начиная с которого xj(t)>1-ε, t>T . x1(t)>1-ε для всех t>T Математическое моделирование процессов отбора 3 Теорема 1 . . Автономная система x j Fi(x),i 1,n на стандартном симплексе S является близкой к системе отбора, если выполнено условие: F1(x)>0 при_0 x1 1 если для то Математическое моделирование процессов отбора Система близкая к системе отбора 4 Доказательство t x1 (t ) x1 (t0 ) F1 ( x( )) d x1=1-ε t0 F1(x) непрерывна на компакте К: x1=x1(t0) К x2=ε/2 x3=ε/2 x1(t0)>0 Если inf F1 ( x) K то из x1(t)> β(t-t0) F1(x) β>0 x1(t)> 1-ε при t=T=t0+(1-ε)/β Математическое моделирование процессов отбора 5 При всех значениях t>T справедливо неравенство x1(t)1-ε. Покажем это. пусть Предположим обратное: t2 >T тогда, так как x1(t2)<1-ε x1(t)-непрерывная функция: Tt1< t2 x1(t1)=1-ε x1(t 2 ) x1(t1 ) F1(x(t2 )) 0 t 1 t 2 0 t 2 t1 Что противоречит изначальному условию: lim F1(x)>0. Математическое моделирование процессов отбора Теорема доказана. 6 Теорема 2 n . x i Фi ( x) xi Ф j ( x), i 1, n Система , j 1 где Фi(x) – квазиположительные, положительно однородные функции, является близкой к системе отбора, если выполнено условие Ф1(x) Фi(x) при 0<x1 1-ε, xi 0, i 2,n . x1 если xi Система близкая к то системе отбора для Математическое моделирование процессов отбора 7 Доказательство n x 0,i 2,n 1 0,i E, в некоторой точке области, вырезаемой Предположим xi из стандартного симплекса условием 0< x1 1-ε. 0,i E Для i E : Фi ( x1 ,..., xn ) Ф1 ( x1 ,..., xi 1 ,0, xi 1 ,..., xn ) Поскольку x1 i2 0 lim xi 0 i xi . x1 Отношение Ф1(x) / x1 ограниченно в рассматриваемой области, необходимо выполнение условий: Фi(x1,...,xi 1,0,xi 1,...,xn ) 0,i E. n Ф1xi= Фix1, i E Просуммировав отдельно правые Ф1xi>Фix1 , i Е и левые части этих неравенств Ф1(1 x1 ) x1 Фi 0 при 0 x1 1 по всем индексам i Е Е, получим Это означает выполнение требования теоремы 1: i 2 n Fi Ф1 ( x) x1 Фi ( x) 0 i 2 Математическое моделирование процессов отбора Теорема доказана. 8 Теорема 3 . n Для того чтобы система x i Фi(x) xi Ф j(x),i 1,n j 1 была близкой к системе отбора, достаточно, чтобы выполнялись n неравенства Ф j(x) Ф1(x) j 2 при 0 x1 1 . n x1 xj j 2 если система то близкая к системе отбора для Математическое моделирование процессов отбора 9 Доказательство Решение системы n . x i Фi(x) xi Ф j(x),i 1,n принадлежит симплексу. j 1 n x 0 x1 1 j 2 j 1 x1 n n Из Ф1 ( x) x1 Ф ( x) j j 2 n x j 2 j Ф1(1 x1 ) x1 Фi n i 2 Ф1(x) Ф1 x1 x1 Фi(x) 0 i 2 n Ф1(x) x1 Фi 0 i 1 Выполнены требования теоремы 1. Математическое моделирование процессов отбора Теорема доказана. 10 Пример 1 n . Рассмотрим систему на стандартном симплексе xi ai xi xi (a j x j ), i 1, n . j 1 аi – положительные константы, а1 > а2 >… > аn; µ - некоторый параметр, 0<µ 1. Покажем, что для нашей системы выполнено требование теоремы 3 n Ф (x) (a j x j при некотором ε: Ф (x) μ n 1 j j 2 n a1 x1 x Проведем оценку правой и левой части неравенства: n Если коэффициенты а , а и параметр µ таковы, (a j x j μ) что выполнено следующее неравенство, a2 nμ j 2 то система близка к системе отбора в силу теоремы 3. , 1 x1 ε μ a nμ x1 j 2 j 1 μ μ a1 a1 . x1 1 ε a1 μ) j 2 1 x1 2 1 ε 2 ε Укажем ε-окрестность точки x=(1,0,…,0), в которую заведомо попадает решение системы: a a 2 4a1 (a2 n) a a 2 4a1 (a2 n) , где a=a +a +µ(1+n). 1 2 2a1 2a1 Математическое моделирование Например, если a1=4,процессов a2=1, n=4, µ=0,003 отбора ε(0,25;1). 11 Пример 2 Модель «хищник-n жертв» с учетом возможности возникновения мутации. жертвы потомство с вероятностьюfij j-го вида генотипа i Данная модель описывается системой: ai, k, b, s – положительные постоянные; начальные условия: zi(t0)=zi0, y(t0)=y0, i 1, n . n . z i f ij a j z j kyzi , i 1, n j 1 . n y b z y sy i i 1 zi Замена: xi n z j 1 От системы переходим к рассмотрению динамики удельных численностей жертв: , i 1, n . n n n xi fij a j x j xi flj a j x j , i 1, n j Покажем, что для этой системы справедливо требование теоремы 3: j 1 n f j 1 l 1 j 1 n 1j ajxj x1 n f i 2 j 1 n Математическое моделирование процессов отбора ij x i 2 ai x j i 12 Оценим правую и левую части неравенства при условиях: 0 x1 1 , x n n f j 1 ajxj x1 f11a1 f j 2 1j ajxj x1 j 2 j 1 x1 , n max f ij f i1 1 f11. n 1j n j 1, n f11a1 an min f1 j , 1 j 2,n n n f i 2 j 1 n n ij x i 2 i2 i j ajxj i 2 n a2 f 22 xi a1 (1 f11 ) xi i 2 i i 1 n x i 2 a2 f11 a1 (1 f11 ) . i Если коэффициенты fij, аi таковы,что выполнено следующее неравенство, то система близка к системе отбора в силу теоремы 3. a1 (1 f11 ) 2 ( a a f ) a ( 1 f ) 0. f a a min f a f 1 2 11 1 11 11 1 n 1j 2 11 j 2 , n 1 Обозначив: f11(a1 a2 ) an min f1 j , неравенство перепишется в виде j 2,n Если θ>0, то условие справедливо для следующих ε: a1 a2 f11 D a a f D где D=(a -a f )2-4θa (1-f ). 1 2 11 , 1 2 11 1 11 2 2 Математическое моделирование процессов отбора 13 а1 а2 аn f11 ε 6 3 1 0,9 (0,22;1) 6 3 1 0,95 (0,1;1) 4 3 1 0,9 (0,44;1) 4 3 1 0,95 (0,21;1) Рассмотрим динамику влияния параметров на область определения ε. минимальное значение ε f11 а1 Данный результат свидетельствует о том, что увеличение коэффициента размножения жертв первого вида, а так же увеличение вероятности того, что потомство первого вида жертв будет принадлежать этому же классу, ведет к увеличению удельной численности жертв первого вида среди остальных жертв. Математическое моделирование процессов отбора 14