Определители

Определители
Определителем второго порядка называется величина, которая записывается в виде
квадратной таблицы
a11 a12
a 21 a 22
и задаётся равенством:
a11 a12
a 21 a 22
 a11 a 22  a12 a 21
,
где a ij — элементы определителя; индекс i обозначает номер строки, а индекс j — номер
столбца, в котором находится элемент a ij .
Пример 1.1.
Вычислите определитель второго порядка
1
2
.
3 4
1
2
 1  4  2   3  4   6  4  6  2 .
3 4
Минором элемента a ik определителя называется определитель, обозначаемый символом
M ik , который получается из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых
стоит элемент a ik .
Алгебраическим дополнением элемента a ik определителя, обозначаемым Aik , называется
его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых
стоит элемент a ik чётная, и со знаком минус в противном случае, т.е.
Aik   1
ik
M ik .
Пример 1.2.
2
А) Найдите минор и алгебраическое дополнение элемента a 23 определителя  7
6
2
1
Элемент a 23  6 . Вычеркнем вторую строку и третий столбец:  7
A23   1
23
минор
M 23 
2 1
 2  0  1 6  0  6  6 .
6 0
1
Алгебраическое
Элемент a 21  1 . Вычеркнем вторую строку и первый столбец:
A21   1
2 1
дополнение
M 23  1  6  6 .
Б) Вычислите минор и алгебраическое дополнение элемента a 21 определителя
Тогда
1 6 .
0 5
1 6 .
0 5
6
Тогда
1
1
минор
M 21   2  2 .
2 2
1
4
Алгебраическое
M 21  1   2   2 .
В примере 1.2 был найден определитель первого порядка.
2 2
1
4
.
.
дополнение
Определителем первого порядка называется величина, которая записывается в виде a11 и
которая равна значению a11 .
Определителем третьего порядка называется величина, которая записывается в виде
a11
a12
a13
квадратной таблицы a 21
a 22
a 23 и задаётся равенством («разложение по элементам первой
a 31
a 32
a 33
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23  a11 
a 31
a 32
a 33
строки»):
Замечание.
В
дальнейшем
a11
a12
a 21
a 22
a 31
a 32
мы
будем
a 22
a 23
a 32
a 33
 a12 
a 21
a 23
a 31
a 33
a13
 a13 
a 21
a 22
a 31
a 32 т.е.
a 23  a11  A11  a12  A12  a13  A13   a1k  A1k  .
k 1
a 33
3
встречаться
с
кратким
обозначением
суммы:
n
 1   2  ...   n    i .
i 1
Пример 1.3.
5 3 2
Вычислите определитель третьего порядка  1 2 4 .
7 3 6
5 3 2
2 4
1 4
1 2
1 2 4  5 
 3
 2

3 6
7 6
7 3
7 3 6
 5  0  3   34  2(17)  68 .
Определителем n-го порядка называется величина, которая записывается в виде
квадратной таблицы
a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
a n1
an2
... a nn
и задаётся равенством («разложение по элементам
некоторой строки или столбца»): определитель равен сумме произведений элементов некоторого
ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
разложение
n
j 1
a n1
an2
... a nn

  a kj  Akj

—
по элементам
k -той строки
a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
разложение
  a im  Aim 
n
i 1
a n1
a n2
... a nn
—
по элементам
m -го столбца
Пример 1.4.
Вычислите определитель четвёртого порядка наиболее удобным способом:
1 0 3 5
0 0 3 2
.

1 2 2 3
0 0 0 4
Разложим определитель по 4-ой строке:
1 0 3 5
1 0 3
1 0 3
0 0 3 2
4 4

 0  0  0  4   1 0 0 3  4  0 0 3 
1 2 2 3
1 2 2
1 2 2
0 0 0 4
разложим
1 0

23 1 0 
   4   3 
определитель III порядка  4   0  0  3   1

 12  2  0  24 .
1 2
1 2

по II строке
Свойства определителей.
1. Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы
— соответствующими строками.
2. Общий множитель элементов любой строки (или столбца) может быть вынесен за знак
определителя.
3. Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам
другой строки (столбца), то определитель равен нулю.
4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на
противоположный.
5. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить
соответственно элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.