1 МАТРИЦЫ Матрицей размера m×n называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки и обозначают большими буквами А,В,С и т.д или большими буквами с индексами А m n , В m n и т.д. Пример 1. ⎛ 5 3⎞ ⎛ 7 12 −6 0 ⎞ A2 2 = ⎜ ⎟ , B2 4 = ⎜ ⎟. ⎝ −7 1 ⎠ ⎝ 2 3 8 9⎠ В общем виде матрицу размером m×n записывают так ⎛ b 11 b1 2 b13 ⎞ ⎛ c 11 c 1 2 ... c 1 n ⎞ ⎛ a11 a1 2 a1 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A23 = ⎜ ... ... ... ⎟ . ⎟ , B 33 = ⎜ b 2 1 b 2 2 b 2 3 ⎟ , C m n = ⎜ ... ⎝ a 21 a 2 2 a 2 3 ⎠ ⎜ b 31 b 32 b 3 3 ⎟ ⎜ c m 1 c m 2 ... c m n ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы Первый индекс элемента указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, элемент a23 стоит во 2-ой строке, 3-м столбце. Например, элемент a i j стоит во i-ой строке, j- м столбце. Ещё об обозначениях. ⎛ a 11 a 1 2 Матрицу A23 = ⎜ ⎝ a 21 a 2 2 a1 3 ⎞ записывают ⎡ a 11 : A23 = ⎢ ⎟ a23 ⎠ ещё так ⎣a 2 1 a1 2 a2 2 a 13 ⎤ a 2 3 ⎦⎥ или так : A23 = {a i j } 2 × 3 . Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком квадратной матрицы. На примере квадратной матрицы А3 3 порядка 3 объясним некоторые специальные названия 0 ⎞ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛ b11 b12 b13 ⎞ ⎛ c11 0 ⎛ 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A33 = ⎜ a21 a22 a23 ⎟ , E33 = ⎜ 0 1 0 ⎟ , B33 = ⎜ 0 b22 b23 ⎟ , C 33 = ⎜ 0 c22 0 ⎟ , O33 = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜a ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜0 ⎜ 0 ⎜ 0 0 0⎟ 0 b33 ⎟⎠ 0 c33 ⎟⎠ ⎝ 31 a32 a33 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ А3 3 − квадратная матрица порядка 3. Её элементы a 11 , a 2 2 , a 3 3 образуют главную диагональ. Е3 3 − единичная, В3 3 − треугольная, С3 3 − диагональная, О3 3 − нулевая. Равенство матриц Две матрицы А m n и В p q называются равными, если они имеют одинаковые размеры (m = p, n = q) и равные элементы на одинаковых местах : a ij = b ij . Напимер, ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ b11 b12 b13 ⎞ Пусть A2 3 = ⎜ ⎟ , B2 3 = ⎜ ⎟. ⎝ a 21 a 22 a 23 ⎠ ⎝ b 21 b 2 2 b 23 ⎠ Тогда A=B, если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 13 = b 13 , a 21 = b 21 , a 22 = b 22 , a 23 = b 23 . Транспонирование. Дана матр А размера m×n. Если строки этой матр записать в столбцы, то получим матрицу, которая обозначается А⊥ и называется транспонированной к матрице А. 1 Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012 ⎛1 4⎞ ⎛ 3 5⎞ ⎛3 7⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⊥ ⊥ ⎜ ⎟ Пример 2. A22 = ⎜ ⎟ , A22 = ⎜ ⎟ , B23 = ⎜ ⎟ , B32 = ⎜ 2 5 ⎟ − матрица размера 3 × 2 ⎝ 7 8⎠ ⎝5 8⎠ ⎝ 4 5 6⎠ ⎜ 3 6⎟ ⎝ ⎠ Операции над матрицами Суммой (разностью) матриц А и В одного размера называется матрица, обозначаемая А+В (соответственно А−В), элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В. Произведением матрицы А на число λ называется матрица, обозначаемая λА, элементы которой равны произведению элементов матрицы А на число λ. ⎛1 4 2⎞ ⎛ 4 5 3⎞ Пример 3. A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ . Найти A + B, A − B, 3 A, 2 A − 3B ⎝ 3 −5 6 ⎠ ⎝ 1 −3 2 ⎠ Решение. 4+5 2 + 3⎞ ⎛ 5 9 5⎞ ⎛1 + 4 A+ B = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 3 + 1 −5 + (−3) 6 + 2 ⎠ ⎝ 4 −8 8 ⎠ 4−5 2 − 3 ⎞ ⎛ −3 −1 −1⎞ ⎛1 − 4 A− B = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 3 − 1 −5 − (−3) 6 − 2 ⎠ ⎝ 2 −2 4 ⎠ 3⋅ 4 3 ⋅ 2 ⎞ ⎛ 3 12 6 ⎞ ⎛ 3 ⋅1 3A = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 3 ⋅ 3 3 ⋅ (−5) 3 ⋅ 6 ⎠ ⎝ 9 −15 18 ⎠ 4 ⎞ ⎛12 15 9 ⎞ ⎛ −10 −7 −5 ⎞ ⎛2 8 2 A − 3B = ⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟ −1 6 ⎠ ⎝ 6 −10 12 ⎠ ⎝ 3 −9 6 ⎠ ⎝ 3 В символической записи: если А = {a i j} m × n , В = {b i j} m × n , то А + В = {a i j + b i j} m × n , А − В = {a i j − b i j} m × n , λА = {λa i j } m × n . Умножение матриц. Перемножать можно только так называемые согласованные матрицы используя специальное правило. Матрицы А m n , В p q называются согласованными, если длина строки первой равна высоте столбца второй, то есть n = p . Пример 4. ⎛1 4⎞ ⎛ 7 8 9 10 ⎞ ⎜ ⎟ A3×2 = ⎜ 2 5 ⎟ , B 2×4 = ⎜ ⎟ − согласованы. ⎝11 12 13 14 ⎠ ⎜3 6⎟ ⎝ ⎠ . ⎛1 4⎞ ⎛ 7 8 9 10 ⎞ ⎜ ⎟ Однако B 2×4 = ⎜ ⎟ и A3×2 = ⎜ 2 5 ⎟ − не согласованы. ⎝11 12 13 14 ⎠ ⎜ 3 6⎟ ⎝ ⎠ Очевидно две квадратные матрицы одного порядка всегда согласованны. ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 7 3 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C = ⎜ 2 5 1 ⎟ , D = ⎜ 0 1 3 ⎟ − согласованы. ⎜ 6 7 9⎟ ⎜ 2 6 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Специальное правило умножения матриц покажем вначале на примере. 2 Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012 ⎛1 2⎞ ⎛ 5 6⎞ ⎛ 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 1⋅ 6 + 2 ⋅ 8 ⎞ ⎛ 19 22 ⎞ Пример 5. A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ . AB = ⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝3 4⎠ ⎝7 8⎠ ⎝ 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 7 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 8 ⎠ ⎝ 43 50 ⎠ 1-ю строку А “умножаем” на столбцы В и записываем в 1-ю строку АВ. 2-ю строку А “умножаем” на столбцы В и записываем в 2-ю строку АВ. Пример 6. ⎛ b11 b12 b13 b14 ⎞ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜ ⎟ A2×3 = ⎜ ⎟ , B 3×4 = ⎜ b 21 b 22 b 23 b 24 ⎟ ⎝ a 21 a 22 a 23 ⎠ ⎜ b31 b32 b33 b34 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ b11 b12 b13 b14 ⎞ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ c 11 c 12 c 13 c 14 ⎞ A2×3 ⋅ B 3×4 = ⎜ ⎟ ⎜ b 21 b 22 b 23 b 24 ⎟ = ⎜ ⎟ = C 2×4 c 21 c 22 c 23 c 24 ⎠ ⎝ ⎝ a 21 a 22 a 23 ⎠ ⎜ b ⎟ ⎝ 31 b32 b33 b34 ⎠ c 11= a11b11 + a12b21 + a13b31 , c 12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 , ... , c 23 = a 21b13 + a 22b23 + a 23b33 , ... . Общая формула : c ij = a i1b1 j + a i 2b2 j + a i 3b3 j . Пример 7. а) ⎛1 2⎞ ⎛ 5 6⎞ ⎛ 19 22 ⎞ A=⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ . В примере 5 получено AB = ⎜ ⎟. ⎝3 4⎠ ⎝7 8⎠ ⎝ 43 50 ⎠ ⎛ 5 6 ⎞⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 5 + 18 10 + 24 ⎞ ⎛ 23 34 ⎞ ⎡ не так как у чисел ⎤ BA = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⇒ AB ≠ BA ⎢ ⎥ ⎝ 7 8 ⎠⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 7 + 24 14 + 32 ⎠ ⎝ 31 46 ⎠ ⎣ например 5 ⋅ 8 = 8 ⋅ 5⎦ ⎛ 1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 1 ⋅ 0 + 2 ⋅1 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛1 2⎞ ⎛1 0⎞ б) A = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎟, E = ⎜ ⎟ , AE = ⎜ ⎝ 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝3 4⎠ ⎝0 1⎠ ⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 2 ⎞ ⎛1 2⎞ ⎡ роль матрицы E такая как роль ⎤ EA = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ... = ⎜ ⎟ . ⇒ AE = A, EA = A. ⎢ ⎥ ⎝ 0 1 ⎠⎝ 3 4 ⎠ ⎝3 4⎠ ⎣ числа 1. Например 1 ⋅ 8 = 8 ⎦ ⎛ 7 − 2 − 24 ⎞ ⎛ −19 ⎞ ⎛ 1 2 −3 ⎞ ⎛7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ в ) С = ⎜ 4 0 −2 ⎟ , D = ⎜ −1⎟ , CD = ⎜ 28 + 0 − 16 ⎟ = ⎜ 12 ⎟ ⎜ 35 − 3 + 48 ⎟ ⎜ 80 ⎟ ⎜5 3 6 ⎟ ⎜8⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Свойства операций над матрицами 1. А+В=В+А – коммутативность сложения. 2. А+(В+С)=(А+В)+С – ассоциативность сложения. 3. A+O = A 4. А(ВС)=(АВ)С – ассоциативность умножения. 5. A(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС дистрибутивность 6. (αА)В=А(αВ)=α(АВ) 7. AE = EA = A Во всех свойствах предполагается, что при сложении матрицы имеют один размер, а при умножении согласованы. 3 Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012 Упражнения по теме МАТРИЦЫ А написать транспонированную матрицу A⊥ : ⎛7⎞ ⎛ 3 5 0⎞ ⎜ ⎟ A=⎜ ⎟ ; в ) A = ( 2 3) ; г ) A = ⎜ 8 ⎟ ⎝ 2 1 8⎠ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ 0 −3 ⎞ ⎟ . Написать матрицы A + B, A − B, 4 A, 2 A − 3B . 5 −2 ⎠ ⎛ a 4 b⎞ ⎛a 4 7⎞ ⎛ a 1 ⎞ ⎛ 4 b ⎞ ⎛ 10 7 ⎞ 3. Найти a, b, c, d если: а) ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ; б) 2 ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ d c 6⎠ ⎝ 5 8 a⎠ ⎝ 5 d ⎠ ⎝ a −3 ⎠ ⎝ c 5 ⎠ ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 3 −2 ⎞ 4. Вычислить произведения матриц: а ) ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟; б) ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟; ⎝ 5 −4 ⎠ ⎝ 2 5 ⎠ ⎝ 2 5 ⎠ ⎝ 5 −4 ⎠ 1. Для заданной матрицы ⎛ 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ а) A = ⎜ 4 5 6 ⎟ ; б ) ⎜7 8 9⎟ ⎝ ⎠ − 1 0 7 ⎛ ⎞ ⎛2 2. A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎝8 9 1 ⎠ ⎝4 ⎛ 1 −3 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ в ) ⎜ 3 −4 1 ⎟ ⋅ ⎜ 1 ⎟ ; ⎜ 2 −5 3 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 4⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 −1 1 0 ⎞ г) ⎜ 2 5 ⎟ ⋅ ⎜ ⎟; 0 3 1 2 ⎝ ⎠ ⎜4 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 2 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 10 ⎞ 5. Найти х, у из равенства ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . ⎝ 0 1 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 ⎛ 1 −2 ⎞ д) ⎜ ⎟ ; ⎝ 3 −4 ⎠ ⎛ 1 3 1 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6. Найти х, у, z из равенства ⎜ 0 2 3 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ 8 ⎟ . ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ z ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ответы. 1) 2) 3) 5) 4 ⎛1 4 7⎞ ⎛ 3 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⊥ а) A = ⎜ 2 5 8 ⎟ ; б ) A = ⎜ 5 1 ⎟ ; в) A ⊥ = ⎜ ⎟ ; г ) A ⊥ = ( 7 8 2 ). ⎝ 3⎠ ⎜3 6 9⎟ ⎜0 8⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3 0 −10 ⎞ ⎛ −1 0 −4 ⎞ ⎛ 4 0 −28 ⎞ ⎛ −4 0 −5 ⎞ A+ B =⎜ ⎟, A − B = ⎜ ⎟, 4A = ⎜ ⎟ , 2 A − 3B = ⎜ ⎟. ⎝12 14 −1 ⎠ ⎝4 4 3⎠ ⎝ 32 36 4 ⎠ ⎝ 4 3 8⎠ а) а = 6, b = 7, c = 8, d = 5;. б) а = 3, b = 5, c = 13, d = 4; х = 4, у = 3.; 6) х = −3, у = 1, z = 2. ⊥ Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ Каждой квадратной матрице А по специальному правилу ставится в соответствие число, которое называется определителем матрицы А и обозначается det А или A . Изложим это правило. a ⎞ ⎛a n = 2, A = ⎜ 11 12 ⎟ , ⎝ a21 a22 ⎠ ⎛ a 11 a 12 ⎜ n = 3, A = ⎜ a 21 a 2 2 ⎜ a 31 a 3 2 ⎝ det A = a 13 ⎞ ⎟ a 23 ⎟ . a 33 ⎟⎠ a11 a12 = a 11 ⋅ a 2 2 − a 2 1 ⋅ a 1 2 a21 a22 det A = a 11 A11 + a 1 2 A1 2 + a 1 3 A1 3 . (1) Числа A11 , A1 2 , A1 3 из (1) называются алгебраическими дополнениями и опреределяются следующим образом. Минором элемента а i j матрицы А, называются число, обозначаемое М i j и равное определителю матрицы, полученной из матрицы А вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением элемента а i j матрицы А называются число обозначаемое А i j и равное А i j = (−1) i + j М i j. 2 −4 ⎛ 2 −4 ⎞ а) A = ⎜ = 2 ⋅ 7 − 5 ⋅ (−4) = 34 ⎟ , det A = 5 7 ⎝5 7 ⎠ ⎛ 1 2 −3 ⎞ 4 1 ⎜ ⎟ = 4 ⋅ 0 − 6 ⋅1 = −6; б ) A = ⎜ −2 4 1 ⎟ ; M 11 = A11 = (−1) 1 + 1 M 11 = 1⋅ (−6) = −6 6 0 ⎜ 7 6 0 ⎟ ⎝ ⎠ −2 1 = 0 − 7 = −7; M 12 = A12 = (−1) 1 + 2 M 12 = (−1) ⋅ (−7) = 7 7 0 Пример 1. M 13 = −2 4 7 6 = −12 − 28 = −40; A13 = (−1) 1 + 3 M 13 = 1⋅ (−40) = −40 det A = [ по формуле (1) ] = a11 A11 + a1 2 A1 2 + a 1 3 A1 3 = 1 ⋅ (−6) + 2 ⋅ 7 + (−3)(−40) = 128 Формулу (1) называют разложением определителя по первой строке. Таким образом a11 a12 a13 a 22 a 23 a 21 a 2 3 a 21 a 2 2 ( 1а ) a21 a22 a23 = a 11 A11 + a 1 2 A1 2 + a 1 3 A1 3 = a 11 − a1 2 + a 13 a 3 2 a 33 a 31 a 33 a 31 a 3 2 a31 a32 a32 Пример 2 3 −2 4 0 6 5 1 5 3 0 3 0 5 3 = (−1) 1 + 1 ⋅ 3 ⋅ + (−1) 1 + 2 ⋅ (−2) ⋅ + (−1) 1 + 3 ⋅ 4 ⋅ = 1 2 6 2 6 1 2 = 3 ⋅ (10 − 3) + 2 ⋅ (0 − 18) + 4 ⋅ (0 − 30) = 21 − 36 − 120 = −135 Опеделитель 3 порядка можно найти и по специальной формуле − формуле Саррюса. 5 Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012 Составляется 6 слагаемых. Три слагаемые со знаком “+” и три со знаком “−” . Каждое слагаемое − это произведение трёх элементов матрицы. D D D D D D Схема составления слагаемых со знаком D D D D D D Схема составления слагаемых со знаком D D D (+) D D D ( −) Пример 3. Найти опеделитель из примера 2 по формуле Саррюса. 3 −2 4 0 5 3 = ( 3 ⋅ 5 ⋅ 2 + (−2) ⋅ 3 ⋅ 6 + 0 ⋅1⋅ 4 ) − ( 6 ⋅ 5 ⋅ 4 + 0 ⋅ (−2) ⋅ 2 + 3 ⋅1⋅ 3) = 6 1 2 = (30 − 36 + 0) − (120 + 0 + 9) = −6 − 129 = −135 Свойство определителей 1. Определитель квадратной матрицы можно вычислить разложением по любой строке и по любому столбцу аналогично формулам (1), (1а). Например: для матрицы порядка3 ⎛ a11 a12 a13 ⎞ det A = a 31 A31 + a 3 2 A3 2 + a 3 3 A 3 3 по 3-й строке ⎜ ⎟ A = ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟ det A = a1 2 A1 2 + a 2 2 A2 2 + a 3 2 A 3 2 по 2-му столбцу ⎜ a 31 a 32 a 33 ⎟ ⎝ ⎠ 2. Определитель не изменится, если к любой строке матрицы прибавить любую другую строку, умноженную на любое число α ∈ R. Аналогично для столбцов. 3. A⊥ = A , где А⊥ − транспонированная для А. 4. Если в матрице имеется нулевая строка или нулевой столбец, то ее определитель = 0. 5. Если в матрице А есть две одинаковые строки (или столбца), то ее определитель = 0. 6. Если строку (столбец) матрицы А умножить на число α, то определитель умножится на α . 7. Если в матрице поменять местами две строки, то определитель изменит знак. Так же для двух столбцов. Все эти свойства верны для определителей любого порядка n ≥ 2. Проиллюстрируем эти свойства на примерах. 6 Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012 4. ( К свойству 1 ) Вычислить 2 5 3 а ) по 2-й строке определитель 3 6 0 б ) по 1-му столбцу 4 1 0 в ) по 3-му столбцу ⎛ Всех таких формул имеется шесть ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ по 1-й, 2-й, 3-й строкам ⎟ ⎜ по 1-му, 2-му, 3-му столбцам ⎟ ⎝ ⎠ Решение. 2 5 3 а) 2 3 5 3 + (−1) 2 + 2 ⋅ 6 ⋅ + 0 = −3 ⋅ (0 − 3) + 6 ⋅ (0 − 12) + 0 = 9 − 72 = −63 3 6 0 = (−1) 2 + 1 ⋅ 3 ⋅ 1 0 4 0 4 1 0 б) 2 5 3 6 0 5 3 5 3 3 6 0 = (−1) 1 + 1 ⋅ 2 ⋅ + (−1) 2 + 1 ⋅ 3 ⋅ + (−1) 3 + 1 ⋅ 4 ⋅ = 1 0 1 0 6 0 4 1 0 = 2 ⋅ (0 − 0) − 3 ⋅ (0 − 3) + 4 ⋅ (0 − 18) = 0 + 9 − 72 = −63 2 5 3 в) 3 6 0 = (−1) 1 + 3 ⋅ 3 ⋅ 3 6 4 1 + 0 + 0 = 3 ⋅ (3 − 24) = −63 4 1 0 Ответ. −63. Очевидно, легче всего вычислить было по 3-му столбцу, так как в 3-м столбце имеется два нуля. 5. (К свойству 1) Определитель 4-го порядка вычислим по 3-й строке (так как там много нулей) 3 −2 6 4 3 −2 4 ⎡ этот определитель ⎤ 0 5 7 3 ⎥ = 2 ⋅ (−135) = −270 3+3 = 0 + 0 + (−1) ⋅ 2 ⋅ 0 5 3 + 0 = ⎢⎢ вычислен в ⎥ 0 0 2 0 ⎢⎣ ⎥⎦ 6 1 2 примере 2 6 1 9 2 6. (К свойству 2) Вычислить определитель используя свойство 2. Применяя свойство 2 занулим элементы a 21, a 31 в первом столбце, а затем вычислим определитель разложением по 1-му столбцу. 1 3 −2 1 3 −2 ⎡ первую строку ⎤ ⎡ первую строку ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −2 −4 5 = ⎢ умножим на 2 и ⎥ = 0 2 1 = ⎢ умножим на − 3 и ⎥ = 0 2 1 = ⎢⎣сложим со второй ⎥⎦ ⎢⎣сложим со третьей ⎥⎦ 3 14 −2 3 14 −2 0 5 4 2 1 ⎡вычисли разложением ⎤ =⎢ = (−1) 1+1 ⋅ 1 ⋅ + 0 + 0 = 1 ⋅ (8 − 5) = 3 ⎥ 5 4 ⎣ по первому столбцу ⎦ 1 3 −2 7. (К свойству 3) ⎛1 2⎞ ⎛ 1 3⎞ ⊥ Пусть А = ⎜ ⎟ . Тогда А = ⎜ ⎟. ⎝3 4⎠ ⎝ 2 4⎠ 1 2 1 3 А= = 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 = −2, А ⊥ = = 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 = −2 3 4 2 4 7 ⇒ A⊥ = A Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012 8. (К свойству 4) 3 7 9 Этот же результат получим если вычислим 0 0 0 = 0 по свойству 4. его разложением например по 2-й строке. 4 1 5 9. (К свойству 5) 3 7 9 Этот же результат получим если применим 3 7 9 = 0 по свойству 5. совйство 2: 1-ю строку умножим на (-1) и 4 1 5 прибавим её ко второй строке. 3 7 9 3 7 9 4 1 5 4 1 5 Получим: 3 7 9 = 0 0 0 = [ см предыдущий пример ] = 0 10. (К свойству 6) ⎛a b Рассмотрим ⎜ А=⎜d e матрицу ⎜m n ⎝ c ⎞ ⎛ λ ⋅ a λ ⋅ b λ ⋅ c ⎞ полученную из А ⎟ ⎜ ⎟ g ⎟ и матрицу B = ⎜ d e g ⎟ , умножением 1-й ⎜ m k ⎟⎠ n k ⎟⎠ строки на число λ ⎝ Тогда по свойству 6 определитель B = λ ⋅ A . Подтверждение этому можно увидеть, разложив определители A и B по первой строке А = aA11 + bA12 + cA13 . B = λ a ⋅ B11 + λb ⋅ B 12 + λ c ⋅ B 13 . Так как алгебраические дополнения A11 , A12 , A13 к элементам 1-й строки у матриц A и B ⎛ ⎞ e g = B 11 , и аналогично для остальных ⎟ , одинаковы ⎜ A11 = (−1) 1+1 ⋅ n k ⎝ ⎠ B = λ a ⋅ B11 + λb ⋅ B 12 + λ c ⋅ B 13 = λ a ⋅ A11 + λb ⋅ A12 + λ c ⋅ A13 = λ (aA11 + bA12 + cA13 ) = λ ⋅ А 11. (К свойству 7) Рассмотрим ⎛ a b ⎞ поменяем местами 1-ю и 2-ю ⎛ c d ⎞ А=⎜ B=⎜ ⎟ ⎟. матрицу ⎝ c d ⎠ строки и получим матрицу ⎝ a b ⎠ По свойству 7 определитель B = (−1) ⋅ A . Подтверждение этому можно увидеть, если вычислить определители A и B А = ad − dc, B = cb − ad = − ad + cb = −(ad − dc) = (−1) ⋅ A . Упражнения по теме ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 1. Вычислить: а ) −1 4 −5 2 2. Решить уравнение x ; б) x+1 −4 x+1 3. Вычислить определитель 8 500 50 20 2 ; в) a+b a−b a−b a+b ; г) cos α − sin α sin α cos α .. =0 Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012 −1 3 2 2 8 1. а ) разложением по 1-й строке; б) разложением по 3-му столбцу; в ) по формуле Саррюса: 1 4. Вычислить разложением по строке или столбцу (выбрать самый простой вариант) 5. Вычислить занулением элементов: 1 2 1 а) 2 0 4 2 1 8 3 7; б) 3 5 4 ; −2 0 9 1 13 25 а ) 2 27 48 ; а ) 1-го столбца; б ) 3-й строки. 0 0 6 6 2 1 4 ; 0 0 5 0 3 6 4 0 . 17 20 23 б ) 32 34 −22 ; 2 29 54 3 6. Вычислить любым способом а ) 2 в) 8 −7 9 4 2 3 12 0 1 1 6 2 5 б) 6 3 4 ; −1 5 −1 Ответы. Зан. 1) а) 18; б) 0; в) 4 ab; г) 1; 2) (−4;−1); 3) −36; 6) а) −66; б) −11 в) abc. 5 4 0 −1 a m n в) 0 b k ; 0 0 c 4) а) 51; б) 42; в) 60; 5) а) 10; б) −50; 3 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Напомним понятие обратного числа. 1 1 3 7 = . Если b = , то b − 1 = . a 5 7 3 Но не для всех чисел существует обратное. Для числа c = 0 нет обратного. Для числа a = 5 обратное число равно a − 1 = Обратным числом для числа а является число, которое обозначается а −1 и удовлетворяет равенству аа −1 = 1. Аналогично определяется обратная матрица. Дана квадратная матрица А. Обратной матрицей к матрице А называется матрица, обозначаемая А − 1 и удовлетворяющая равенствам А⋅ А − 1 = Е, А − 1 ⋅ А = Е, где Е – единичная матрица. Рассмотрим для удобства матрицы порядка 3 . ( Для квадратной матрицы любого порядка всё аналогично ) Теорема. Пусть задана квадратная матрица порядка n = 3 ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ a21 a22 a23 ⎟ , для которой определитель A ≠ 0 . ⎜a ⎟ ⎝ 31 a32 a32 ⎠ Тогда для матрицы А существует единственная обратная матрица, которую вычисляют по формуле 9 Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012 ⎛ A11 1 ⎜ −1 A = A2 1 det A ⎜⎜ ⎝ A31 ⊥ ⎛ A11 A 2 1 A31 ⎞ A1 3 ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎟ A2 2 A2 3 ⎟ = A1 2 A 2 2 A3 2 ⎟ , ⎜ det A ⎜ ⎟ A3 2 A3 2 ⎟⎠ ⎝ A13 A 2 3 A3 3 ⎠ где A11 , A1 2 , A1 3 , A 2 1 ,..., A 3 3 − алгебраические дополнения элементов матрицы А. ⎛ A11 ⎜ Матрицу A = ⎜ A 2 1 ⎜ A31 ⎝ A1 2 A1 3 ⎞ ⎟ A 2 2 A 2 3 ⎟ называется присоединённой матрицей для матрицы. A3 2 A3 2 ⎟⎠ ⊥ 1 A∗ ) . С этим обозначением для обратной матрицы записывается короткая формула A −1 = ( det A A1 2 ∗ ⎛1 2 0⎞ Пример 1. Найти обратную матрицу для A = ⎜⎜ 3 2 1 ⎟⎟ . ⎜0 1 2⎟ ⎝ ⎠ Решение. 1 2 0 2 1 3 1 det A = 3 2 1 = 1 ⋅ − 2⋅ + 0 = 1 ⋅ 3 − 2 ⋅ 6 + 0 = −9 1 2 0 2 0 1 2 det A = −9 ≠ 0. Находим A A11 = (−1) 1 + 1 A 2 1 = (−1) 2 + 1 A3 1 = (−1) 3 + 1 −1 ⎛ A11 1 ⎜ = A2 1 det A ⎜⎜ ⎝ A3 1 A2 2 A3 2 2 1 3 1 = 3, A1 2 = (−1) 1 + 2 = −6, 1 2 0 2 2 0 1 2 2 0 2 1 = −4, = 2, ⊥ A 2 2 = (−1) 2 + 2 A3 2 = (−1)3 + 2 ⎛ 3 −6 3 ⎞ ⎛ 3 −4 1 ⎜ 1 ⎜ ⎟ −1 −4 2 −1 ⎟ = −6 2 A = −9 ⎜⎜ −9 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 −1 −4 ⎠ ⎝ 3 −1 ⎛ 3 1 ⎜ −6 Можно проверить, что A −1 ⋅ A = −9 ⎜⎜ ⎝ 3 ⎛2 6⎞ Пример 2. A = ⎜ ⎟ , det A = 4, ⎝ −3 −7 ⎠ 10 ⊥ ⎛ A11 A1 3 ⎞ 1 ⎜ ⎟ A2 3 ⎟ = ⎜ A1 2 det A ⎜ A13 A3 2 ⎟⎠ ⎝ A1 2 1 0 0 2 1 0 3 1 A1 3 = (−1) 1 + 3 A2 2 A2 3 A3 1 ⎞ ⎟ A3 2 ⎟ A3 3 ⎟⎠ 3 2 =3 0 1 = 2, A 2 3 = (−1) 2 + 3 = −1, A3 3 = (−1) 3 + 3 2 ⎞ ⎛ −1 3 ⎟ ⎜ −1 ⎟ = ⎜ 2 3 −4 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1 3 −4 2 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 2 −1 ⎟ ⋅ ⎜ 3 −1 −4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 A2 1 1 2 0 1 1 2 3 2 = −1 = −4 − 2 9⎞ ⎟ −2 9 1 9 ⎟ 19 4 9 ⎟⎠ 2 0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 2 1 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ и A ⋅ A −1 = E 1 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ 49 Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012 A11 = (−1) 1 + 1 (−7) = −7; A1 2 = (−1) 1 + 2 (−3) = 3; A 2 1 = (−1) 2 + 1 ⋅ 6 = −6; A 2 2 = (−1) 2 + 2 ⋅ 2 = 2 ⊥ −3 ⎞ ⎛ −7 1 ⎛ −7 3 ⎞ 1 ⎛ −7 −6 ⎞ ⎜ 4 2⎟ = = A −1 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 1 ⎟ 4 ⎝ −6 2 ⎠ 4⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 4 2⎠ ⎛a b ⎞ 1⎛ c −1 Для A = ⎜ ⎟ обратная матрица равна A = ⎜ ∆ ⎝ −d ⎝c d⎠ Предполагается, что ∆ ≠ 0. −b ⎞ a b = ad − bc . ⎟ , где ∆ = A = a⎠ c d Упражнения по теме ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ⎛2 7 ⎜ а) A = ⎜ 3 9 ⎜1 5 проверку: A −1 ⋅ A = E ⎝ 2. Рерить матричные уравнения ⎛4 и выполнить проверку а) ⎜ ⎝1 1. Вычислить обратную матрицу и выполнить 3⎞ ⎛1 2⎞ ⎟ 4 ⎟; б) A = ⎜ ⎟ ⎝3 4⎠ 3 ⎟⎠ 3⎞ ⎛5⎞ ⎟ ⋅ X = ⎜ ⎟; 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎛3 2⎞ ⎛ 4⎞ б) ⎜ ⎟ ⋅ X = ⎜ ⎟. ⎝5 4⎠ ⎝ 6⎠ Указание: дано матричное уравнение АХ = В. Найдём обратную А − 1 и умножим обе части уравнения на А − 1: АХ = В ⇒ А − 1(АХ)= А − 1В ⇒ (А − 1А)Х = А − 1В ⇒ EХ = А − 1В ⇒ Х = А − 1В Ответы. 1) а) ⎛ −7 6 −1⎞ б ) 1⎜ ⎟ 5 −3 −1⎟ ; ⎜ 3⎜ ⎟ ⎝ −6 3 3 ⎠ 11 1 ⎞ ⎛ −2 ⎜ ⎟; ⎝1,5 −0,5 ⎠ 2) а ) ⎛ −1⎞ X = ⎜ ⎟; ⎝3⎠ б) ⎛2⎞ X = ⎜ ⎟. ⎝ −1 ⎠ Витебск, УО «ВГТУ», Статковский Н. С. , 2012