Программный комплекс -полнота ( B, S)-рынка в случае специальной

Программный комплекс -полнота ( B, S)-рынка в случае специальной
хааровской фильтрации при допущении арбитража.
Шишкова А.Н.
Рассматриваемый программный комплекс предоставляет возможность
пользователю задать компоненты B, S  -рынка относительно специальной хааровской
фильтрации посредством ввода конечного момента времени N , последовательности
строго положительных цен банковского счёта B0 , B1 , ..., BN и последовательности строго
положительных цен акций в моменты времени 0,1,2,..., N . Далее предоставляется
возможность ввода случайной величины  на атомах A0 , A1 , ..., A N , C N , определяющих
рынок в конечный момент времени.
Так начинает свою работу основная программа, переходящая в последовательное
выполнение процедур MO, MATR, MGAUS, HEDG, описанных ниже.
Процедура MO находит  -алгебру F , совпадающую с одной из Fn , n  1, 2,..., N в
случае, если случайная величина  является моментом остановки. Теоретическая база,
положенная в основу факта совпадения F с одной из  -алгебр Fn , n  1, 2,..., N
изложена в лемме 3[1]. Поиск номера n осуществляется по алгоритму, опирающемуся на
лемму 1[1] и следствие леммы 2[1]. Здесь также предусмотрена возможность завершения
программы в случае, когда случайная величина  не является моментом остановки.
Процедура MATR путём перехода к 1, Z  -рынку[2] формирует матрицу
коэффициентов D  D1 , D2 ,..., Dn  размером
n   1   2  1  ...   n1  n  2   n  n  1 , состоящую из n матриц вида
 a11  b1

 0

D1   ......
 0

 0

  b2  b1 
 2
 a 2  b2

0
D1  
 ......

 0
 0

a 12  a11
......
0
......
......
.......
0
......
0
......
0
.......
a a
2
3
2
2
......
0
......
......
.......
0
......
0
......
a11  a11 1 


0

.......  ,

0


0



a 2  a 2 1 

0
,

.......

0


0

0
2
2
…………………………………………….....
1
  bn  bn 1 

  bn  bn 1 

  bn  bn 1 
D1    bn  bn 1 


......

  bn  bn 1 
 a2  b
2
 2
0
.......
0
.......
0
.......
0
a 2  a 2 1
2
2
0
a 2  a22 1
2
0
.......
......
.......
.......
0
.......
0
a32  a 22
......
a22  a22 1





.






Ранг матрицы D отвечает за полноту рассматриваемого рынка[1]. Процедура
MGAUS осуществляет элементарные преобразования над матрицей D , приводя её к
виду, при котором первые n столбцов матрицы имеют единичный вид.. Процедура
опирается на общеизвестный факт, говорящий о том, что с помощью конечного числа
элементарных преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. В
[1] доказано, что рынок полон по отношению к моменту времени  тогда и только тогда,
когда матрица D имеет ранг, равный n .
Далее путём подсчёта ненулевых строк матрицы D определяется её ранг, что
позволяет сделать вывод о  -полноте рынка. В случае отсутствия  -полноты работа
программы завершается.
В случае наличия  -полноты пользователю предоставляется возможность ввести
компоненты финансового обязательства а атомах  -алгебры F . Процедура HEDG
подсчитывает компоненты самофинансируемого портфеля    n ,  n n0 ,
реплицирующего заданное финансовое обязательство.
N
Рассмотрим работу программы на примере.
Пример. Рассмотрим стохастический базис , Fn , F , Pn0 , F0  , , FN  F и
N
Fn    A1 , A2 , ...., An , C n  , причём A1 , A2 , ...., An , Cn - полный набор атомов   алгебры Fn .
Такая фильтрация называется специальной хааровской[3].
Положим N  5 и зададим последовательность цен банковского счёта Bn и
последовательность цен акций акций S n , n  1, 2, ..., N на атомах   алгебр Fn в
различные моменты времени:
B1  A1   1
B1 C1   2
S1  A1   5
B1 C1   6
B2  A1   3
B2  A2   1
B2 C2   4
S 2  A1   3
S 2  A2   7
B3  A1   6
B3  A2   3
B3  A3   1
B3 C3   1
S 3  A1   12
S 3  A2   3
B4  A1   1
B4  A2   2
B4  A3   3
B4  A4   4
B4 C4   2
B5  A3   5
S 4  A1   8
S 4  A2   10
S 5  A1   6
S 5  A2   12
2
B5  A1   6
B5  A2   4
B5  A4   6
B5  A5   7
B5 C5   4
S 2 C2   8
S 3  A3   3
S 4  A3   9
S 5  A3   25
S 5  A4   30
S 5  A5   49
S 5 C5   4
S 4  A4   8
B4 C4   2
S 3 C3   5
Зададим также случайную величину  :
  A1   1
  A2   3
  A3   3
  A3   3
  A4   4
  A5   4
 C5   4
Процедура MO определит, что случайная величина  является моментом
остановки и F совпадает с F4 .
Процедура MATR осуществит переход к 1, Z  -рынку[2]:
a11  1
a 12  1
a31  2
a14  8
a 51  1
b1  3
a 22  7
a 32  1
a42  5
a52  3
b2  2
a33  3
a43  3
a53  5
b3  5
a 44  2
a54  5
b4  1
a 55  7
b5  1
Далее будет сформирована матрица D :
2

0
D
0

0

1
3
4
5
3
4
0
2
4
0
0
1
0

6
0

0 
Процедура MGAUS приведёт матрицу D к виду
1

0
D
0

0

0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0,6 

 1,2 
.
0 

1 
Здесь определится, что ранг матрицы равен 4, то есть она имеет полный ранг.
Выдаётся сообщение о полноте относительно  .
3
Процедура HEDG предлагает задать компоненты финансового обязательства на
атомах A1 , A2 , A3 , A4 , C4
f  A1   2
f  A2   7
f  A3   5
f  A4   4
f  A1   2
f B4   4
Подсчитываются компоненты самофинансируемого портфеля
реплицирующего данное финансовое обязательство
11  12,5
 21  30
 22  4,5
 31  30
 32  0,7
 33  1,5
 41  30
 42  0,7
 43  6
 44  0
  n ,  n n N0 ,
 51  30
 52  0,7
 53  6
 54  2
 55  0
 11  2,5
 21  1
 22  1,5
 31  1
 32  1
 33  0,5
 41
 42
 43
 44
1
 51  1
1
 52  1
1
 53  1
0
 54  1
 55  1
Литература
1. Шишкова А.Н. Критерий   полноты -рынка в случае специальной хааровской
фильтрации при допущении арбитража // Известия высших учебных заведений: СевероКавказский регион, 2010, №4-c.24-27.
2. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Ранговый критерий полноты одного
арбитражного рынка при допущении арбитража.// ОППМ, М: ТВП, 1999, т.6, №1,
с.121122.
3. Волосатова Т.А. О хааровских интерполяциях финансовых рынков, приводящих к
полным рынкам. ОППМ, М: ТВП, 2004, т. 11, №.3, с. 505-506.
4
5