Получить текст лекции 7 в формате pdf на русском языке

Международный институт экономики и финансов (Государственный университет Высшая Школа Экономики).
Лекции по линейной алгебре
Владимир Черняк
Лекция 7. Свойства определителей.
Читать под музыку
Michael Jackson “Bad”
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Геометрическое значение прямого и обратного порядка индексов
Как мы помним, определитель
a11 a12
a21 a22
рассчитывается как произведение двух диагональных элементов минус произведение двух
недиагональных элементов
a11a22 − a12 a21 .
В выражении a11a22 , рассчитанном как произведение двух диагональных элементов
a11 a12
a21 a22
перестановка индексов столбцов (1, 2) – четная, обратите внимание, что линия, соединяющая
эти элементы, имеет отрицательный наклон
.
В другом выражении a12 a12 , которое рассчитывается как произведение двух недиагональных
элементов
a11 a12
a21 a22
перестановка индексов столбцов (2, 1) – нечетная, и линия, соединяющая эти элементы,
имеет положительный наклон
.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что нечетная перестановка (обратный порядок
индексов столбцов) соответствует линии с положительным наклоном, в то время как
четная перестановка (прямой порядок индексов столбцов) соответствует линии с
отрицательным наклоном.
Некоторые полезные обозначения
Теперь введем некоторые полезные символы. Мы обозначим столбцы, используя одну
букву, например
 a1 
 b1 
 c1 
 
 
 
 a2 
 b2 
c 
A =   , B =   , C =  2  ,…
...
...
...
 
 
 
 an 
 bn 
 cn 
Чтобы обозначить, что определитель D содержит вектор-столбец A в виде его j-ого столбца,
мы будем писать
1
D j (A ) .
Чтобы обозначить, что определитель D содержит вектор A в виде его j-ого столбца и вектор
B в виде его k-ого столбца, мы будем писать
D jk ( A, B)
Используя эти обозначения, мы можем представить почти все свойства определителя в
очень простой форме.
ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ
Теорема. Определитель матрицы A равен определителю транспонированной матрицы
A .
Доказательство. Сравним первоначальную матрицу и транспонированную матрицу
T
 a11

a
A =  21
...

 a n1
a12 ... a1n 

a 22 ... a2 n 
... ... ... 

a n 2 ... ann 
 a11

a
T
A =  12
...

 a1n
a 21
a 22
...
a2n
... a n1 

... a n 2 
... ... 

... ann 
Согласно определению определителя, каждое слагаемое определителя – произведение n
элементов матрицы, взятых по одному из каждого ряда и каждой колонки. Строки матрицы
A – столбцы матрицы A T и наоборот. Поэтому A и A T включают одни и те же слагаемые,
но знак слагаемого может быть различен в A и A T . Слагаемое имеет знак плюс, если
перестановка номеров столбцов четная, слагаемое имеет знак минус, если перестановка
номеров столбцов нечетная. Четность перестановки определена числом пар элементов,
имеющих обратный порядок. Но как мы уже знаем, обратный порядок индексов столбцов
соответствует линии с положительным наклоном, в то время как четная перестановка
(прямой порядок индексов столбцов) соответствует линии с отрицательным наклоном. После
транспонирования элемент aij займет положение a ji , которое является симметричным
относительно диагонали матрицы. Используя геометрические значения прямого и обратного
порядка элементов, можно видеть, что после транспонирования положительный наклон
линии остается положительным, и отрицательный наклон, остается отрицательным.
 a11

a
A =  21
...

 a n1
a12 ... a1n 

a 22 ... a2 n 
... ... ... 

a n 2 ... ann 
 a11

a
T
A =  12
...

 a1n
a 21
a 22
...
a2n
... a n1 

... a n 2 
... ... 

... ann 
Таким образом, знак каждого слагаемого из A и A T , состоящих из одних и тех же элементов,
одинаковый. Поэтому | A | = | A T | .g
Теперь мы можем сформулировать и доказать все свойства определителей только для
столбцов матрицы. Соответствующие свойства будут верны и для строк.
ПЕРЕСТАНОВКА СТОЛБЦОВ
Теорема. Определитель меняет знак, когда два столбца меняются местами.
2
D jk ( A, B) = − D jk (B, A )
Доказательство. Если столбцы A и B стоят рядом в матрице определителя (без других
столбцов между ними), то перестановка двух столбцов может изменить знак только двух
элементов в каждом слагаемом определителя. После перестановки столбцов линия,
соединяющая эти элементы, меняет свой наклон
 a1

 a2
 ...

 an
b1
b2
...
bn






↔
 b1

 b2
 ...

 bn
a1
a2
...
an






Поэтому знак слагаемого также меняется.
Если n других столбцов стоят между A и B
... A, C1 , C 2 , ..., C n , B ...
сначала нужно поменять местами n столбцов, чтобы добиться положения
... C1 , C 2 , ..., C n , A, B ...
затем поменяйте столбцы A и B
... C1 , C 2 , ..., C n , B, A ...
и затем снова поменяйте n столбцов, чтобы восстановить положение с n столбцами между A
and B
... B, C1 , C 2 , ..., C n , A ...
общее число обменов равно n + 1 + n = 2n + 1 . Это означает, что произошло 2n + 1 смен знака
слагаемого – следовательно, он действительно меняется. g
Теорема. Если два столбца матрицы A идентичны, тогда | A | = 0 :
D jk ( A, A ) = 0
Доказательство. Если поменять местами j-ый и k-ый столбцы, определитель меняет свой
знак, с другой стороны, он не меняется, потому что две колонки идентичны. Таким образом,
| A | = − | A | и можно сделать вывод, что | A | = 0 .g
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Теорема. Определитель является линейной функцией j-ого столбца, для всех j.
D j ( pB + qC) = pD j ( B) + qD j (C)
Доказательство. Рассмотрим любое слагаемое определителя. Чтобы доказательство было
более понятным, все элементы определителя кроме элементов из столбца j обозначены *.
Раскрывая скобки
[*... * ( pbij + qcij ) * ...*] = [*... * pbij * ...*] + [*... * qcij * ...*]
и суммируя все слагаемые (с их знаками) мы получаем три определителя
D j ( pB + qC) = pD j ( B) + qD j (C) g
Пример.
2+3 4
2 4
3 4
=
+
= (14 − 20) + ( 21 − 24) = −9
5+6 7
5 7
6 7
3
Следствие. Общий сомножитель для всех элементов столбца может быть записан как
множитель определителя
D j ( pB) = pD j ( B)
Доказательство. Это следует из равенства
q = 0 .g
D j ( pB + qC) = pD j ( B) + qD j (C) , если
Теорема. Преобразование Гаусса не меняет значение определителя
D jk ( A, B) = D jk ( A, B + pA )
Доказательство. Это следует из линейных свойств определителя
D jk ( A, B + pA ) = D jk ( A, B) + D jk ( A, pA )
если принять во внимание, что D jk ( A, pA ) = pD jk ( A, A ) = 0 .g
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МЕТОДОМ ГАУССА
У нас теперь есть эффективный способ вычисления определителей. Преобразуйте
первоначальную матрицу методом Гаусса (применительно к столбцам или к строкам) к
ступенчатому виду и затем вычислите определитель как произведение всех диагональных
элементов.
Пример.
0
2
1
0
3 0 4
1 4 2 3
1 4 2
3
9 1 1
2 9 1 1
0 1 −3 −5
= (–1)
= (–1)
=
4 2 3
0 3 0 4
0 3 0
4
6 −1 8
0 6 −1 8
0 6 −1 8
(а)
(б)
(в)
Объясним, как можно преобразовать первоначальную матрицу (а). Так как a11 = 0, мы
меняем местами первый и третий столбцы, чтобы получить матрицу (б). Теперь мы
умножаем первую строку матрицы (б) на –2 и прибавляем результат ко второй строке, чтобы
получить матрицу (в). Последние три строки и три столбца в (в) формируют подматрицу, к
которой должны быть применены те же самые правила. Элемент a22 равен 1. Умножая
вторую строку в (в) на –3 и –6 и прибавляя результаты к третьей и четвертой строкам,
соответственно, мы получаем матрицу (г).
1
0
=(–1)
0
0
4 2
3
1 4 2
3
1 −3 −5
0 1 −3 −5
=(–1)
0 9 19
0 0 9
19
0 17 38
0 0 0 19 / 9
(г)
(д)
Теперь рассмотрим подматрицу, образованную последними двумя строками и
последними двумя столбцами в (г). Используя её элемент a33 , который равен 9, мы можем
преобразовать матрицу (г) к треугольному виду. А именно, умножая третий ряд в (г) на –17/9
и прибавляя результат к четвертой строке, мы получаем треугольную матрицу (д).
Определитель матрицы (д) равен произведению ее диагональных элементов; следовательно,
определитель первоначальной матрицы (а) равен –19 (нам пришлось переставить строки
местами только однажды).
4