Вопросы к экзамену по «Алгебре» образования» профиль «Математическое образование»

Вопросы к экзамену по «Алгебре»
для бакалавров 1 курса ОЗО, обучающихся по направлению «Педагогическое
образования» профиль «Математическое образование»
Критерии оценивания
Экзаменационный билет состоит из трех вопросов – первые два
теоретические, третий – практическое задание.
Оценка «отлично» выставляется за верные ответы на два вопроса билета
и решении задачи.
Оценка «хорошо» выставляется за верные ответы на два вопросы билета
при наличии ошибки в решении в решении задачи или неполные ответы.
Оценка «удовлетворительно» выставляется за верный ответ на один
вопрос билета и решении задачи.
Экзамен проводится в соответствии с действующими организационнонормативными документами, действующими в вузе.
1 семестр
1. Множество. Операции над множествами и их свойства.
2. Прямое произведение двух (нескольких) множеств.
3. Бинарные отношения. Виды бинарных отношений.
4. Алгебраические операции и их свойства.
5. Понятие алгебры как множества с алгебраическими операциями.
6. Метод математической индукции.
7. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр.
8. Понятие группы. Примеры групп.
9. Простейшие свойства групп.
10. Подгруппы.
11. Понятие кольца Простейшие свойства кольца. Примеры колец.
12. Подкольца.
13. Поле, его простейшие свойства, примеры.
14. Подполе. Свойство дробей.
15. Понятие алгебраической системы как множества с операциями и
отношениями.
16. Поле комплексных чисел.
17. Комплексные числа в алгебраической форме, операции над ними.
18. Сопряжённые комплексные числа и их свойства.
19. Модуль комплексного, числа и его свойства.
20. Геометрическое представление комплексных чисел и операции над
ними.
21. Тригонометрическая форма комплексного числа.
22. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
23. Корни из комплексных чисел.
24. Корни из единицы.
25. Системы линейных уравнений, эквивалентные системы.
26. Решение систем линейных уравнений методом последовательного
исключения переменных.
27. Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования.
28. Понятие определителя. Вычисление определителя порядка.
29.Операции над матрицами, их свойства.
30.Понятие обратной матрицы, элементарные матрицы.
31.Условия обратимости матрицы. Вычисление обратной матрицы.
32.Группа подстановок. Чётность и знак подстановки.
33.Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителя.
34.Миноры и алгебраические дополнения.
35.Разложение определителя по строкам или столбцу.
36.Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
37.Определитель произведения матриц.
38.Теорема о ранге матрицы.
39.Присоединенная матрица. Обратная матрица.
40.Запись и решение n линейных уравнений с n переменными в матричной
форме.
41.Правило Крамера.
42.Условия, при которых однородная система n линейных уравнений с n
переменными имеет ненулевое решение.
Примерные практические задания к экзамену
1 семестр
3.
Показать, что множество Р(Q) с операциями А+В=(А∪В)\(А∩В), А∙В=А∩В, где
Р(Q) – множество всех подмножеств произвольного множества Q и А, В ∈ 𝑄.
4.
Пусть А, В, С – подмножества в некотором множестве. Доказать, чтоА ∩ В ∁ С
тогда и только тогда, когда А ∁В ∪ С.
5.
Доказать, чтоА ∆ В = В ∆ В, где А ∆ В = (А ∩ В) ∪ (А ∩ В).
6.
Доказать, что для любого натурального числа n:
а) (𝑛 + 1) ∙ (𝑛 + 2) ∙ … ∙ (𝑛 + 𝑛) = 2𝑛 ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ (2𝑛 − 1);
б) 1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + ⋯ + 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) =
1
1
1
4
в) 4∙5 + 5∙6 + ⋯ + (𝑛+3)(𝑛+4) = 4(𝑛+4);
𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)(𝑛+3)
4
;
д) число (𝑛3 + 5𝑛) делится на 6;
7. Дано множество 𝑀 = {−1; 1; 𝑖; −𝑖}. Образует ли М мультипликативную группу?
8.
Привести примеры не ассоциативного кольца и коммутативного ассоциативного
кольца с единицей, не являющегося областью целостности.
9.
Образует ли поле множество чисел вида 𝑎 + 𝑏√3, где 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅?
10.
Представить в алгебраической форме комплексное число
3 i
 i(2  i ) .
1 i
11.
Указать в алгебраической форме комплексные корни квадратного уравнения х 23х+3+i=0.
4
4
12.
Найти √1 − 𝑖 и √−16.
1 2
 2 3
1  2
 , В= 
 и С= 
 .
13. Вычислить АВ-1+ 2С, где А= 
3 4
1 2
3 1
1 3 
1  2
1 2
 , В= 
 , С= 
 и D=
14. Решить матричное уравнение АХВ-2С=D, где А= 
1 4 
0 1
3 4
 4 3

 .
 2 1
 1 0 1


15. Найти матрицу, обратную к матрице А =  0 1 1 .
 1 1 1


16. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений
 2 x  y  3 z  2t  1

4 x  2 y  z  3t  2 .
2 x  y  4 z  5t  1

17. Решить матричным способом с использованием формулы обратной матрицы систему
линейных уравнений
x  3y  2z  1

x  2 y  2z  2 .
2 x  5 y  z  3

18. С помощью элементарных преобразований над строками и столбцами вычислить
определитель
3
2
3
0
2007 0  2007 4014
.
2
4
1
2
0
2
3
4
19. Разложить определитель по третьему столбцу
1
2 a 1
2 1 b 1
.
1 2 c 1
0
1 d 2