Раздел 1. Линейная алгебра Тема 1.1. Матрицы и определители Урок №2. Тема

Раздел 1. Линейная алгебра
Тема 1.1. Матрицы и определители
Урок №2.
Тема: Определители квадратных матриц. Свойства определителей.
Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела
математики – линейной алгебры. Изучить понятие определителя, методов его
вычисления.
Задачи:
• развитие творческого профессионального мышления;
• познавательная мотивация;
• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;
• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;
• углубление теоретической и практической подготовки;
• развитие инициативы и самостоятельности студентов.
Вид занятия: Семинар комбинированного типа
Ход занятия.
1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами
учебной дисциплины;
2.Проверка готовности студентов к занятию;
3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с
рабочей программой дисциплины:
› Изучить теоретический материал по теме «Определители .Вычисление
определителей».
› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.
› Ответить на контрольные вопросы.
1.Организационный момент.
2.Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.
В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные
способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод
сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения.
Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения
данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе,
существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы
решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса,
матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания, памяти.
При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица»,
«определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь
вычислять определители, миноры, дополнения.
Что же такое определитель, как его можно вычислить?
Обозначение: , det A
матриц.
(детерминант). Они существуют у квадратных

Определение 1. Определителем второго порядка
выражение a1b2  a2b1.
a1
b1
a2
b2
Определение 2. Определителем третьего порядка
называется
a1
b1
c1
  a2
a3
b2
b3
c2
c3
называется выражение a1b2 c3  a1b3 c2  b1c2 a3  b1c3 a2  c1a2 b3  c1a3b2
Есть другие способы для нахождения определителя третьего порядка.
a1 b1
a2 b2
c1
c2
a1
1.   a3 b3 c3 =
b2
b3
c2
a
 b1 2
c3
a3
c
a
 c1 2
c3
a3
b2
,
b3
где a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 , a3 , b3 , c3 - элементы определителя,
b2
b3

c2 a2
,
c3 a3
c2 a2
,
c3 a 3
b2
b3
a11
a12
... a1n
a 21
...
a 22
...
... a 2 n
... ...
a n1
an2
... a nn
- миноры элементов а1, b1, c1
Минором Мij какого – либо элемента аij определителя  порядка n
называется определитель порядка n – 1, полученный из  вычерчиванием
i– й строки и j – го столбца.
2.
a11
a12
a13
  a 21
a31
a 22
a32
a 23
a33
Определитель III порядка можно найти по схеме:
+
-
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
+
3.
a11
a12
a13
  a 21
a31
a 22
a32
a 23
a33
+ +
a11
a 21
a12
a 22
= a31 a32
- - -
a13 a11
a 23 a 21
a33 a31
a12
a 22
a32
Для нахождения определителя III порядка можно использовать две теоремы.
Пусть задан определитель:
a1
b1
c1
  a2
a3
b2
b3
c2
c3
Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо
строки на их алгебраические дополнения, т. е.
  a1 A1  b1 B1  c1C1 (1)
  a 2 A2  b2 B2  c 2 C 2 (2)
  a3 A3  b3 B3  c3C3 (3)
Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо
столбца на их алгебраические дополнения, т.е.
  a1 A1  a 2 A2  a3 A3 (4)
  b1 B1  b2 B2  b3 B3 (5)
  c1C1  c 2 C 2  c3C3 (6)
Эти теоремы облегчают вычисления определителя, когда среди элементов
есть нули.
2
 0
Пример: Найти определитель
1
3
2
1
1 1 3
Решение: Воспользуемся формулой (2) теоремы 1.
  3  (1) 4
2 2
2 1
 1  (1) 5
 3(6  2)  (2  1)  3  4  3  15
1 3
1 1
Проверим, найдём этот же определитель способом 3.
2
1
22
1
  0 3 1 0 3  18  1  0  6  2  0  15
1 1 3 1 1

Определителем четвёртого порядка
a1
b1
c1
d1
a2
a3
a4
b2
b3
b4
c2
c3
c4
d2
d3
d4
называется
выражение   a1 A1  b1 B1  c1C1  d1 D1 , где A1, B1, C1, D1 - алгебраические
дополнения элементов a1, b1, c1, d1.
4.Закрепление изученного материала. Решение задач.
1. Вычислить данный определитель
четвёртого порядка с помощью
разложения по строке или столбцу:
2 1 1 0
0 1 2 1

3 1 2 0
3
1
6 3
Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в
которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае
– это четвёртый столбец.
Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же
2 1 1
0 1 2

3 1 2
3 1 6
 0  (1)
3 4
0
0 1 2
2 1 1
1
1 4
2 4
 0  (1) 3  1 2  1  (1) 3  1 2 
0
3 1 6
3 1 6
3
2 1 2
2 1 1 2 1 1
4 4
0 1 2  3  (1) 0 1 2  3  1 2 
3 1 6
3 1 2 3 1 6
2 1 1
 2  0 1 2  1  3   2
3 1 2
методом. В определителе 1 нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать
для разложения любой из столбцов, например, первый. В  2 единственный
нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй
строкой. Для разнообразия будем разлагать  2 по второй строке:
2 1 1
1 2
1 1
1  3  1 2  2  (1)11
 3  (1) 21

1 6
1 6
3 1 6
 3  (1) 31
1 1
 2  (6  2)  3  (6  1)  3  (2  1) 
1 2
 16  21  3  2
2 1 1
2  0
1
2  0  (1) 21
3 1 2
 2  (1) 23
1 1
1 2
 1  (1) 2 2
2 1
3 2

2 1
 1  (4  3)  2  (2  3)  1  2  1
3 1
2. Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки
или столбца вычислить определитель матрицы
1 2 3 4
2 3 4 1

3 4 1 2
4 1 2 3
Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С
этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый
столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим
2
3
4
1
1
2

3
4
1

3
4
1
2
4 1 22 33 44
1 2 3  4 4  6 1 8


2 3 4  6 1  9 2  12
3 4 1  8 2  12 3  16
0
1 0
0
0
0
0
2 1 2 7
2 1  2  7
.
 (1) 
3 2 8 10
3  2  8  10
4 7 10 13
4  7  10  13
Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:
1 0
2 1
  (1) 
3 2
0
2
8
0
1 2 7
7
 (1)  1  2 8 10 .
10
7 10 13
4 7 10 13
Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель,
будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов
первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно
вынося общие множители из столбцов)
1
2
7
1
0
0
  (1)  1  2 8 10  (1)  2 4
4 
7 10 13
7  4  36
1 0 0
 (1)  4  (4)  2 1 1  16  (9  1)  160.
7 1 9
3. Используя метод приведения к треугольному виду вычислить
определитель из примера 2.
Решение. Воспользуемся видом определителя  , который получился после
процедуры зануления всех элементов (кроме первого) первой строки:
1 0
2 1
  (1) 
3 2
0
2
8
0
7
.
10
4 7 10 13
Далее с помощью второго столбца занулим элементы второй строки,
кроме первых двух, для чего вычтем из третьего и четвёртого столбцов
второй столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно
вынося общие множители из столбцов)
1
2
  (1) 
3
4
0 0 0
1
1 2 7
2
 (1) 
2 8 10
3
7 10 13
4
1 0
 (1)  4  (4) 
0
0
0 0
0
1 0
0

2 4
4
7  4  36
1 0
0
0
2 1 0 0
2 1 0 0
 16 
.
3 2 1 1
3 2 1 1
4 7 1 9
4 7 1 9
Наконец, вычтем третий столбец из четвёртого, в результате чего
определитель сведётся к треугольному виду, величина которого равна
произведению элементов главной диогонали:
1 0
0
0
2 1
0
0
  16 
3 2 1 1
4 7 1 9
 16 
1 0
0
0
2 1
0
0
3 2 1 0
4 7  1 10

.
 16  10  160
5.Итог занятия. Рефлексия.
6.Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему
конспекта. Выполнить упражнения:
Используя свойства определителей, вычислить следующие определители:
1
2
1. 4  5
5
3.
3
2 1 0 3
1 3 5 4
2.
4 2 0 6
3
8
5
1
121 283
221 183
2
4. 1
2 
1 3
4
3
2
4  2
0
3
3
1 1 
 3 4 1  4
5. 2
2
3 4