Индивидуальное задание №2 Вычисление определителей n

Перестановки и подстановки.
Методы вычисления определителей n-го порядка.
Пусть дано упорядоченное множество n элементов. Всякое расположение n
элементов в определённом порядке называется перестановкой из этих элементов.
Так как каждый элемент определяется своим номером, то будем говорить, что дано n
натуральных чисел.
Число различных перестановок из n чисел равно n!
Если в некоторой перестановке из n чисел число i стоит раньше j, но i > j, т.е.
большее число стоит раньше меньшего, то говорят, что пара i, j составляет инверсию.
Пример 1. Определить число инверсий в перестановке (1, 5, 4, 3, 2)
Решение.
Числа 5 и 4, 5 и 3, 5 и 2, 4 и 3, 4 и 2, 3 и 2 образуют инверсии. Общее число инверсий в
данной перестановке равно 6.
Перестановка называется чётной, если общее число инверсий в ней чётное, в
противном случае она называется нечётной. В рассмотренном выше примере дана чётная
перестановка.
Пусть дана некоторая перестановка …, i, …, j, … (*). Преобразование, при котором
числа i и j меняются местами, а остальные остаются на своих местах, называется
транспозицией. После транспозиции чисел i и j в перестановке (*) получится перестановка
…, j, …, i, …, где все элементы, кроме i и j, остались на своих местах.
От любой перестановки из n чисел можно перейти к любой другой перестановке из
этих чисел с помощью нескольких транспозиций.
Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.
n!
При n ≥ 2 число чётных и нечётных перестановок из n чисел одинаково и равно .
2
Пусть М – упорядоченное множество из n элементов. Всякое биективное
преобразование множества М называется подстановкой n-й степени.
1 2  n 
 , где ik  1, 2, ..., n ,  k  1, 2, ..., n
Подстановки записывают так: 
i
i

i
1
2
n


и все ik различны.
Подстановка называется чётной, если обе её строки (перестановки) имеют
одинаковые чётности, т.е. либо обе чётные, либо обе нечётные. В противном случае
подстановка называется нечётной.
n!
При n ≥ 2 число чётных и нечётных подстановок n-й степени одинаково и равно .
2
а12 
а
 называется
Определителем квадратной матрицы А второго порядка А=  11
а
а
22 
 21
число, равное А =а11а22–а12а21.
Определитель матрицы называют также детерминантом. Для определителя
матрицы А используют следующие обозначения: А , det A, ΔA.
1
 a11 a12 a13 


Определителем квадратной матрицы А=  a21 a22 a23  третьего порядка
a

 31 a32 a33 
называют число, равное │А│=а11а22а33+а12а23а31+а21а13а32-а13а22а31-а21а12а33-а32а23а11
Каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы
представляет собой произведение элементов матрицы, взятых по одному и только одному
из каждого столбца и каждой строки. Для определения знака произведения полезно знать
правило (его называют правилом треугольника), схематически изображённое на рис.1:
«+»
«—»
рис. 1
Пример 2. Вычислить определитель 3-го порядка по правилу треугольника
2 3 4
6 1 2.
1 0 5
Решение.
2 3 4
6 1 2  2  1  5  3  2  (1)  4  6  0  4  1  (1)  6  3  5  2  2  0  10  6  4  90  82.
1 0 5
Пусть А – матрица n-го порядка с комплексными элементами:
 а11 а12  а1n 


 a21 a22  a2n 
А= 
   


a

a

a
n2
nn 
 n1
Рассмотрим всевозможные произведения элементов матрицы А, взятых по одному
из каждой строки и каждого столбца: a1i1  a2i2  ...  anin (1). Эти произведения будем
называть членами определителя
А . По каждому члену (1) составим подстановку
 1 2 ... n 

 (2).
 i1 i2 ... in 
Определителем n-го порядка, или определителем квадратной матрицы А=(aij) при
n>1, называется алгебраическая сумма всевозможных произведений вида (1), причём
произведение (1) берётся со знаком «+», если соответствующая ему подстановка (2)
чётная, и со знаком «-», если подстановка нечётная.
Минором Мij элемента aij определителя называется определитель, полученный из
исходного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением Аij элемента aij определителя называют число Аij=(–
i+j
1) Мij, где Мij – минор элемента aij.
Свойства определителей
1. Определитель не изменяется при замене всех строк соответствующими столбцами
(определитель не изменится при транспонировании).
2
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
3. Определитель с двумя одинаковыми (пропорциональными) строками (столбцами)
равен нулю.
4. Общий для всех элементов строки (столбца) множитель можно вынести за знак
определителя.
5. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить
соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же
число, отличное от нуля.
6. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен
нулю.
7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их
алгебраические дополнения (свойство разложения определителя по строке (столбцу)).
Рассмотрим некоторые способы вычисления определителей порядка n.
1. Если в определителе n-го порядка хотя одна строка (или столбец) состоят из нулей, то
определитель равен нулю.
2. Пусть в определителе n-го порядка какая-то строка содержит отличные от нуля
элементы. Вычисление определителя n-го порядка можно свести в этом случае к
вычислению определителя порядка n1. Действительно, используя свойства
определителя, можно все элементы какой-либо строки, кроме одного, сделать нулями,
а затем разложить определитель по указанной строке. Например, переставим строки и
столбцы определителя так, чтобы на месте а11 стоял отличный от нуля элемент.
a11 a12
a1n

a 21
a 22
a 2n
.
a n1
an2
a nn
Тогда первый столбец умножаем на  a12 и прибавляем ко второму, далее первый
a11
столбец, умноженный на

a13
a11
, прибавляем к третьему и т.д. Получаем определитель
вида

a11
a 21
0
a '22
0
a '2n
a '22
a '2n
'
n2
'
nn
 a11 
.
a
a
a n1 a 'n 2
a 'nn
Заметим, что переставлять строки (или столбцы) не обязательно. Можно нули
получать в любой строке (или столбце) определителя.
Общего метода вычисления определителей порядка n не существует, если не считать
вычисление определителя заданного порядка непосредственно по определению. К
определителю того или иного специального вида применяются различные методы
вычисления, приводящие к более простым определителям.
3. Приведем к треугольному виду. Пользуясь свойствами определителя, приводим его к
так называемому треугольному виду, когда все элементы, стоящие по одну сторону от
главной диагонали равны нулю. Полученный определитель треугольного вида равен
произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Если удобнее получить нули
по одну сторону от побочной диагонали, то он будет равен произведению элементов
побочной диагонали, взятому со знаком (1)
n ( n 1)
2
. Действительно, произведение а1n,
3
а2n-1, …, an1 является членом определителя и его знак определяет (1)s, где s – число
инверсий
в
перестановке
(n,
n1,
n2,…,
2,
1).
Следовательно,
s=n1+n2+…+1=
n  n  1
2
.
Пример 3. Вычислить определитель разложением по строке
2 3 0
1 1 5 .
4
2
7
Решение.
Разложим данный определитель по первой строке:
 2 3 0
1 5
1 5
1 1
1  1 5  (2)  (1)11 
 3  (1)1 2 
 0  (1)13 
 (2)  (17)  (3)  (13)  34  39  73
2 7
4 7
4 2
4 2 7
Пример 4. Вычислить определитель четвёртого порядка
1
2 1 5
1
5
6 3
.
1  2 3 5
2
4
2 8
Решение.
1-й способ (вычисление определителя путём сведения его к треугольному виду):
Приведём определитель к треугольному виду, умножив первую строку
последовательно на (-1), 1, (-2) и сложив соответственно со второй, третьей и четвёртой
строками.
1
2 1 5 1 2 1 5
1
5
6 3 0 3 7 2

 1  3  2  (2)  12 .
 1  2 3 5 0 0 2 10
2
4
2 8
0 0
0
2
2-й способ (вычисление определителя путём разложения его по строке):
Вычислим этот определитель разложением по строке, предварительно преобразовав
его так, чтобы в какой-то его строке все элементы кроме одного обратились в ноль. Для
этого прибавим первую строку определителя к третьей. Затем умножим третий столбец на
(-5) и сложим с четвёртым столбцом. Преобразованный определитель раскладываем по
третьей строке. Минор третьего порядка приводим к треугольному виду относительно
главной диагонали.
1 2  1 5 1 2  1 5 1 2  1 10
1 2 10
1 2 10
1 5 6 3 1 5 6 3 1 5 6  27
3 3


 2  (1)  1 5  27  2  0 3  37  12
 1  2 3 5 0 0 2 10 0 0 2
0
2 4 18
0 0 2
2 4  2 8 2 4  2 8 2 4  2 18
.
4
Пример 5. Вычислить определитель n-ого порядка
n

n 1 n  2
2
1
1
1
n
1
n 1
n
3
4
2
3
1
1
1
n
n 1
1
1
1
1
n
.
Решение.
Вычтем из первой строки вторую, из второй – третью и т.д., наконец, из предпоследней
последнюю (последняя строка остается без изменений).
Получим
n 1

1
1
n  1 1
0
n 1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.
n  1 1
1
n
Элементы последней строки представим в виде сумм двух слагаемых 0+1, 0+1, …, 0+1,
(n1)+1. Применив свойство (аддитивности), будем иметь

n -1
-1
-1

-1
-1
n -1
-1
-1

-1
-1
0
n 1
1

1
1
0
n 1
1

1
1
0

0

n 1 
 
1

1
0



0

n 1 
 
1

1


0
0
0
 n 1
1
0
0
0
 n 1 1
0
0
0

n -1
1
1
1

0
1
1
Первый определитель в сумме – треугольного вида относительно главной диагонали,
поэтому он равен произведению диагональных элементов, т.е. (n–1)n. Второй
определитель в сумме преобразуем, прибавив последнюю строку ко всем предыдущим
строкам определителя. Полученный при этом преобразовании определитель будет
треугольного вида относительно главной диагонали, поэтому он будет равен
произведению диагональных элементов, т.е. nn-1:
n
n
0
0

0
0
1
n
0

0
0
1 n  0 0 (n–1)n + nn-1.

     
=(n–1) + 1
1
1
1

n
0
1
1
1

1
1
4. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Если в определителе
выделить k строк (или столбцов) (1kn1), то определитель равен сумме
произведений всех миноров k-ого порядка, расположенных в выделенных k строках
(или столбцах), на их алгебраические дополнения.
5
Пример 6. Вычислить определитель
2
3
 3
1
4
1
4
4
5
6
4
0
5
2
0
3 5
5 0
2 1
4 3
7 0
Решение.
В определителе десять миноров второго порядка, расположенных во второй и пятой
строках, но только три из них отличны от нуля. Поэтому, данный определитель удобнее
разложить по второй и пятой строкам:
4 3 5
1 4 5
2 4 5
3 4
3 5
4 5
2  5 1 2
2  5 1 4
25 2 4

 (1)
5 2 1
 (1)
4 5 1
 (1)
3 5 1 
4 6
4 7
6 7
2 4 3
5 2 3
1 2 3
4 3 5 1 4 5
2 4 5
 21  7 5 1 4
5
0 0 1
 2 5 2 1  4 5 1  2 3 5 1  2 0
0 1  0  11  19  2  0  1  8 
2 4 3 5 2 3
1 2 3
 13  2 3 0  18  22
1 2 3
 2  (1)2  3 
 21  7  11  19
3 1  11  19
 11  8

 2  (2)  7 

 2  2  49 
2 
 13  2  18  22
13 2  7  3
7 4
 98  (44  56)  2  98  100  2  4
6
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2
«ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ N-ГО ПОРЯДКА»
Вариант 1
Вычислить определители
1
1
0
1
1
2
7 6 5 6
2 3 4 5
5 1 2 6
2 7 5 3
2
1
2
3
0
3
3
0
0
1
0
2
3
2
0
0
0
0
1
2
2
3
 n 1 n
4
2
2
3
4
3
3
3
4
4
4
4
4
   
n 1 n 1 n 1 n 1
n
n
n
n






n 1
n 1
n 1

n 1
n
n
n
n

n
n
Вариант 2
Вычислить определители
1
0
0
2
1
2 5 4
1 7 1
4 7 8
3
2
6
2
3
4
0
0
1
1
2
2
0
2
0
1
1
4
1
0
1
0
1
0
0
3
2
a
a
0

0
0
0
a
a

0
0
0

0

a 
 
0

0

0
0
0

a
a
1
2
3
 n 1 n
Вариант 3
Вычислить определители
2
3
5
3
2
2
3
4 4
4 2
2
1
7
1
0
1
1
1
2
1
2
1
1
2
0
3 0
1 1
0 3
1 0
1 2
x a a  a
a x a  a
a a x  a
    
a a a  x
0
0
1
2
0
Вариант 4
Вычислить определители
 3 5 2
1
2
3
5 4 3
4 2 3
4
7  8 1
0
2
3
1
0
1
1
2
0
0
0
0
1
2
2
1
2
0
4
0
2
1
0
0
1
x
x

x
x
1
x
x

x
2
x
x x  3 x x
     .
x
n
x

x
x
x
x
x

x
x
7
Вариант 5
Вычислить определители
2
1
1
1
1
3 5 2 1
4 7  8 1
1 7 1
5
2
5 4 3
1
3
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
1
5
1
1 2 2  2
2 2 2  2
2 2 3  2
    
2 2 2  n
1
1
1
1
6
Вариант 6
Вычислить определители
1
0
1
0
0
2 1
2
3
3 2 7
5
2 1  5  3
5 6
4
2
1
1
2
1
0
1
1
3
2
1
1
1
0
3
2
0
1
0
0
3
n
n 1 
3
2
a1
n
n 1 
3
a2
a1
n
n  1  a3
a2
a1
 


n
an 1  a3
a2
a1
an
an 1  a3
a2
a1


Вариант 7
Вычислить определители
2 7
2 5
6 7
2 1
2
3
2
3 2 7
5 1
3 1  5  3  2
5 6 4
2 4
2 3 3
1 2
5 1
1 3
1 4
3 5 3
2
1
1
1
1

1
1
2
2
2

2
1
1
2
2
3
3
3
4


3
4
     
1
2
3
4

n
Вариант 8
Вычислить определители
0
2  3 5  2 1 1 b1

1
1

b
b
1
2
2
5 4 3
1  5  3  2 3
0  1 1  b2
6 4
2 4 2 3 4 2 3
... ...
...
4
7  8 1
3 3
1 2 6
0
0
0
2 1 7
1
5
2
7
5
1
0
0
0
0
0
b3
...
0
...
0
0
...
0
0
...
0
0
...
...
...
... bn 1
0
... 1  bn 1 bn
0 ...
 1 1  bn
8
Вариант 9
Вычислить определители
6
9
7
5
7
5
4
8
8
5
3
4
2
7
8 3
2
3
3
1
4
1
4
4
5
6
4
0
5
2
0
3
5
2
4
7
a b b  b
b a b  b
b b a  b
    
b b b  a
5
0
1
3
0
Вариант 10
Вычислить определители
7
1
3
6
5
3 2 2 2
9  8 5 10
5 8 5 8
6 5 4
7
2
0
0
3
1
1
2
4
2
2
3
0
0
4
2
n 1 1  1
1 n 1  1
1 1 n  1 .
    
1 1 1  n
4
3
7
5
3
Вариант 11
Вычислить определители
9 3 5
9
8 2 8 5
5 2 5
4
10
2
8
7
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
6
1 n n  n
n 2 n  n
n n 3  n
    
n n n  n
Вариант 12
Вычислить определители
5
4
2
5
4
5
8
5
4
5 5 3 4
2
4 4
3
6
3
3 1 6
8
4
5  3 2 1  2
7 7
6
8
4
7
6
6
3 3 2 8
2
4
4

4
4
4
4
4

4
4
4 4 6 
   
4

4

4
4
4
 2n  2
4
4
4
4

2n
4
Вариант 13
Вычислить определители
9 3 5 6
8 2 8 5
5 2 5 4
10
2
8
7
2 1 2
3
2
3 2 7
5 1
3 1  5  3  2
5 6 4
2 4
2 3 3
1 2
0 1 1  1
1 n 1  1
1 1 n  1 .
    
1 1 1  0
9
Вариант 14
Вычислить определители
3 2 2 2
9  8 5 10
5 8 5 8
6 5 4
7
7
1
3
6
5
2
0
0
3
1
1
2
4
2
2
3
0
0
4
2
4
3
7
5
3
n 1 1  1
1 n 1  1
1 1 n  1
    
1 1 1  n
10