1. Найти значение матричного многочлена f(A) 1 0 f ( x) 4 x 3 2 x 2 3x 1 A 0 1 3 1 0 1 0 1 0 1 0 4A 4 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 (1) 1 0 1 0 1 0 4 4 0 1 1 0 0 0 1 ( 1) 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 (1) 1 0 4 0 4 4 0 1 1 0 0 0 1 (1) 0 1 0 4 3 2 1 0 1 0 1 0 2A 2 0 1 0 1 0 1 1 0 2 0 2 0 1 0 2 2 1 0 3 0 3A 3 0 1 0 3 1 0 1 0 1 4 0 2 0 3 0 1 0 f ( x) 4 x 3 2 x 2 3 x 1 0 4 0 2 0 3 0 1 0 4 2 3 1 0 0 0 4 2 3 1 0 2 2. Вычислить определитель. 1 2 5 9 1 1 7 4 d 1 3 3 4 1 2 3 4 Упростим определитель, умножив третью строку на (-1) и прибавив ее к четвертой. 1 2 5 9 1 2 5 9 1 1 7 4 1 1 7 4 d 1 3 3 4 (1) 1 3 3 4 1 2 3 4 0 1 0 0 Разложим по четвертой строке и дальше преобразуем: 1) умножим первую строку на (-1) и прибавим ко второй и третьей, 2) прибавим вторую строку к третьей 1 2 5 9 1 5 9 (1) 1 5 9 1 1 7 4 4 2 d (1) (1) 1 7 4 0 2 5 1 3 3 4 1 3 4 0 2 5 0 1 0 0 1 5 9 0 2 5 1 2 (10) 20 0 0 10 Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали. 3. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать базисный минор. Элементарными преобразованиями со строчками приведем матрицу к ступенчатому виду. 1 2 1 0 5 (3) ( 2) ( 1) 1 2 1 0 5 0 7 1 2 8 3 1 2 2 7 2 3 1 0 6 0 1 1 0 4 1 1 0 4 1 0 3 1 4 4 1 2 1 0 5 1 2 1 0 5 0 1 1 0 4 (7) ( 3) 0 1 1 0 4 0 7 1 2 8 0 0 6 2 20 2 0 3 1 4 4 0 0 2 4 8 2 1 2 1 0 5 1 2 1 0 5 0 1 1 0 4 0 1 1 0 4 0 0 3 1 10 0 0 3 1 10 0 0 1 2 4 ( 3) 0 0 0 5 2 Так как получили четыре ненулевые строки, значит ранг матрицы равен 4. 1 2 1 0 1 1 Базисный минор 0 0 3 0 0 0 0 0 1 5 4. Решить матричное уравнение. Результат проверить умножением. 54 33 3 2 5 X 28 71 7 4 1 - AX=B Умножение и равенство матриц возможно, когда выполняется следующее условие на их размеры. [m, n] [n, k ] [m, k ] . Для данных матриц [2, 2] [ n, k ] [2,3] . Значит n 2, k 3 . x1 x4 Пусть матрица X имеет вид: X 54 33 x1 28 71 x4 x2 x5 x2 x5 x3 54 x1 33x4 x6 28x1 71x4 x3 . Выполним умножение матриц. x6 54 x2 33x5 54 x3 33x6 3 2 5 28x2 71x5 28x3 71x6 7 4 1 Приравняем соответствующие элементы матриц AX и B. 54 x1 33 x4 3; 54 x 33 x 2; 5 2 54 x3 33 x6 5; 28 x1 71x4 7; 28 x2 71x5 4; 28 x3 71x6 1. Перегруппируем уравнения: 1-е с 4-м; 2-е с 5-м; 3-е с 6-м. Получаем три системы линейных уравнений. Решим их методом Гаусса. Правые части матриц этих систем равны, разные лишь столбцы свободных членов. Запишем эти столбцы по порядку в расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду. 54 33 3 2 5 (1) 2 109 11 6 3 (14) 2 109 11 6 3 28 71 7 4 1 2 28 71 7 4 1 0 1455 147 80 43 Получаем систему: 2 x1 109 x4 11; 1455 x 147; 4 2 x2 109 x5 6; 1455 x5 80; 2 x3 109 x6 3; 1455 x6 43; Находим неизвестные подстановкой. 147 49 x ; 4 1455 485 x 11 109 49 3 ; 1 2 2 485 485 x5 80 16 ; 1455 291 x 6 109 16 1 ; 2 2 2 291 291 43 x6 ; 1455 3 109 43 161 . x3 2 2 1455 1455 3 485 Матрица X 49 485 1 161 291 1455 16 43 291 1455 Сделаем проверку, перемножим матрицы A и X и проверим, верно ли равенство AX=B. 3 54 33 485 28 71 49 485 3 49 54 485 33 485 28 3 71 49 485 485 1 161 291 1455 16 43 291 1455 1 16 161 43 54 33 54 33 291 291 1455 1455 3 2 5 1 16 161 43 7 4 1 28 71 28 71 291 291 1455 1455 5. Решить систему линейных уравнений тремя способами 1) методом обратной матрицы. 2) по формулам Крамера, 3) методом Гаусса. x1 x2 x3 2; x1 x2 x3 4; x 2 x x 3. 2 3 1 1) Система уравнений в матричной форме: AX=B, где 1 1 1 x1 2 X x2 , A 1 1 1 , B 4 1 2 1 x3 3 Следовательно, X=A-1B, где A-1 – обратная матрица к A. A11 1 A A12 det( A) A13 1 A21 A31 A22 A23 A32 A33 det(A) – определитель матрицы A 1 1 1 det( A) 1 1 1 1 1 (1) 1 2 1 (1) 1 1 1 1 1 1 1 2 (1) 1 (1) 1 2 1 1 2 1 1 2 1 4 A11 (1)11 1 1 1 1 1 (1) 2 1 3 , A12 (1)1 2 (1 (1) 11) 2 , 2 1 1 1 A13 (1)13 1 1 1 1 1 2 11 1 , A21 (1) 21 ((1) (1) 2 1) 1 , 1 2 2 1 A22 (1) 2 2 1 1 1 1 1 (1) 11 2 , A23 (1)23 (1 2 1 (1)) 3 , 1 1 1 2 A31 (1)31 1 1 1 1 (1) 1 11 2 , A32 (1)3 2 (11 11) 0 , 1 1 1 1 A33 (1)33 1 1 11 1 (1) 2 1 1 3 1 2 3 1 2 1 1 A 2 2 0 2 2 0 4 4 1 3 2 1 3 2 1 3 1 2 2 3 2 (1) 4 2 3 8 2 1 1 1 X 2 2 0 4 2 2 2 4 0 3 4 1 4 4 4 1 3 2 3 (1) 2 3 4 (2) 3 4 1 Ответ: X=(2;1;1) 2) Решение системы – это вектор X ( x1 , x2 , x3 ) x1 d3 d1 d2 , x2 , x3 , где d d d 1 1 d1 1 1 2 2 1 d1 4 1 3 2 1 1 - определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, 1 1 1 - определитель, составленный из определителя d заменой первого 1 столбца на столбец свободных членов, 1 2 d2 1 4 1 1 - определитель, составленный из определителя d заменой второго столбца 1 3 1 на столбец свободных членов, 1 1 2 d3 1 1 4 - определитель, составленный из определителя d заменой третьего 1 2 3 столбца на столбец свободных членов. 1 1 d1 1 1 2 1 1 4 1 2 1 1 d1 4 1 1 2 1 (1) 4 2 1 ( 1) 1 3 1 1 3 2 1 2 ( 1) 4 ( 1) 3 2 1 2 8 3 3 4 4 8 1 2 1 d 2 1 4 1 1 4 (1) 1 3 1 2 1 1 1 4 1 1 1 3 2 1 ( 1) 1 3 1 4 3 2 4 3 2 4 1 1 2 d3 1 1 4 1 1 3 1 2 2 (1) 4 1 2 11 1 4 2 (1) 1 3 1 2 3 3 4 4 2 8 3 4 x1 8 4 4 2, x2 1, x3 1 4 4 4 Ответ: X=(2;1;1) 3) Запишем расширенную матрицу коэффициентов СЛУ, приведем ее элементарными преобразованиями к треугольному виду. 1 1 1 2 (1) 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 4 0 2 0 2 (3) 0 2 0 2 1 2 1 3 0 3 2 1 2 0 0 4 4 Получили СЛУ x1 x2 x3 2; 2 x2 2; 4 x 4. 3 Система совместна и определена. Подстановкой находим неизвестные. x3 1; x2 1; x 2 1 1 2; 1 Ответ: X=(2;1;1) 6. Найти общее решение СЛУ и одно частное, не являющееся базисным, и два базисных решения СЛУ 2 x1 x2 3x4 5; x1 2 x2 3x3 4; x x x x 3. 1 2 3 4 Запишем расширенную матрицу коэффициентов СЛУ, приведем ее элементарными преобразованиями к треугольному виду. 2 1 0 3 5 2 1 0 3 5 1 2 3 0 4 2 0 3 6 3 3 1 1 1 1 3 ( 2) 0 1 2 1 1 ( 3) 2 1 0 3 5 2 1 0 3 5 0 3 6 3 3 3 0 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Получили СЛУ 2 x1 x2 3x4 5; x2 2 x3 x4 1. Система совместна и неопределена. Пусть x1 , x2 - базисные переменные, x3 , x4 -свободные переменные. Подстановкой выражаем базисные переменные через свободные. x2 1 2 x3 x4 4 2 x3 4 x4 1 1 x1 (5 x2 3 x4 ) (5 1 2 x3 x4 3 x4 ) 2 x3 2 x4 2 2 2 Общее решение: X (2 x3 2 x4 ; 1 2 x3 x4 ; x3 ; x4 ) Частное не базисное решение: Придадим свободным переменным x3 , x4 значения, равные 2 и 1соответственно, и найдем остальные переменные. Пусть x3 2, x4 1 x2 2, x1 2 a1 (2; 2; 2;1) - произвольное частное решение. Особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю называются базисными. Пусть x3 0, x4 0 x2 1, x1 2 b1 (2; 1;0;0) - базисное решение. Пусть теперь переменная x3 - свободная, а переменная x2 - базисная. 1 3 Пусть x2 0, x4 0 x3 , x1 2 2 3 1 b2 ( ; 0; ; 0) - базисное решение. 2 2