Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Тема 2. «Определители. Способы их вычисления.»
Основные понятия:
• Понятие определителя
• Вычисление определителей 1-го, 2-го и 3-го
порядков
• Миноры и алгебраические дополнения
• Теорема Лапласа (вычисление определителя
n-го порядка)
• Разложение определителя по строке (столбцу)
• Свойства определителей
завершить
Определение: Любой квадратной матрице n-го порядка
ставится в соответствие по определенному закону
некоторое действительное число, называемое
определителем или детерминантом n-го порядка.
Обозначение:
À,
,
det A,
à11
à12
... à1n
à21
à22
... à2 n
... ... ... ...
àn1 àn 2 ... ànn
назад
Вычисление определителя 1-го порядка:
À   a11 
det A    A  a11
Пример 1.
1)
À   0   det A    A  0
2) À   7   det A    A  7
3) À   2009   det A    A  2009
4) À   x   det A    A  x
назад
Вычисление определителя 2-го порядка:
 a11 a12 
À
    A  a11  a22  a21  a12
 a21 a22 
Пример 2.
Вычислить определители следующих матриц:
1)
 2 4 


0 5 
2)
 cos 

  sin 
sin  

cos  
3)
 2i
 73
 i
13
i 

i 
5
Ответ
назад
Ответы (Пример 2):
1)
2)
3)
2 4
 2  5  0   4   10
0 5
cos 
 sin 
sin 
2
2
 cos   sin   1
cos 
2i
73
i
i
14
78
 2i  i 
i
 2  i
4 3
13
5

 i  i
2

4 19
 i2  3
назад
Вычисление определителя 3-го порядка (правило
треугольника или правило Саррюса):
 a11 a12 a13 


À   a21 a22 a23  ,

a
a
a
33 
32
 31
  A  a11  a22  a33  a13  a21  a32  a31  a12  a23 
a31  a22  a13  a11  a32  a23  a33  a21  a12
Пример 3.
назад
Пример 3.
Вычислить определители следующих матриц:
1)
1 2 3


4
0

4


 3 2 1 


2)
a 0 2



1
a

1


2 0 a


Ответ
назад
Ответ (Пример 3):
1)
1
2
3
4
0
4  1  0   1  3  4   2    3   2   4  
3 2 1
3  0   3  1   4    2    1  2  4  0
2)
a
0
2
1 a 1  a  4a
2 0 a
3
назад
Рассмотрим определитель n-го порядка.
Выделим в нем какой-либо элемент aij
строку и j-ый столбец.
à11
...
ài1
...
àn1
...
...
...
...
...
à1 j
...
àij
...
ànj
...
...
...
...
...
и вычеркнем i-ю
à1n
...
àin
...
ànn
Полученный определитель (n-1)-го порядка называется
минором M
ij
Пример 4.
назад
Пример 4.
Вычислить миноры для всех элементов матриц:
1)
 1 2 


 0 7
2)
1 2 3


4
0

4


 3 2 1 


Ответ
назад
Ответ (Пример 4):
1)
M 11  7  7, M 12  0  0,
M 21  2  2, M 22  1  1.
2)
0 4
4 4
M 11 
 8, M 12 
 16,
2 1
3 1
M 13 
4
0
3 2
M 22  8,
 8, M 21 
2
3
2 1
 4,
M 23  4, M 31  8,
M 32  16, M 33  8.
назад
Алгебраическим дополнением элемента
i j
называется число
Aij   1
 M ij
aij
Пример 5. Найти алгебраические дополнения для всех
элементов матриц
1)
2)
 1 2 


 0 7
1 2 3


4
0

4


 3 2 1 


Ответ
назад
Ответ (Пример 5):
1)
A11   1  M11  7,
A12   1
11
A21   1
2)
2 1
1 2
 M 21  2, A 22   1
 M12  0,
2 2
 M 22  1.
A11   1  M 11  8,
11
A12   1
1 2
A13  8,
 M 12  16,
A21  4,
A31  8, A32  16,
A22  8,
A23  4,
A33  8.
назад
Вычисление определителя n-го порядка
Теорема Лапласа. Выберем в определителе n-го порядка
произвольно k строк (или k столбцов), 1  k  n 1
Тогда значение определителя n-го порядка есть сумма
произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в
выбранных строках (столбцах) , на их алгебраические
дополнения.
Пример 6.
назад
Пример 6. Вычислить определитель матрицы с помощью
теоремы Лапласа
5 0 1 1




0 6 0 8 

À
2 1 2 0 


 0 1 2 2 
Решение:
1) Выберем произвольное количество строк или столбцов,
например, 1-ю и 2-ю строки.
2) Воспользуемся теоремой Лапласа:
далее
det À 
5 0
0 6
  1
1 2 1 2

2
0
2 2

5 1
0
1 2 1 3 1

  1


0 0
1 2

5 1
0 8
  1
1 2 1 4

1 2
1 2

0 1
0
1 2  2  3 2

  1


6 0
0 2

0 1
6 8
  1
1 2  2  4

2 2
0 2

1 1
1 2  3 4 2 1

  1

 136.
0 8
0 1
назад
Теорема 1. Каков бы ни был номер строки i (i=1,2,…,n), для
определителя n-го порядка справедлива формула
n
det A    1
k 1
ik
 aik  M ik
n
или
det A   aik  Aik
k 1
называемая разложением этого определителя по i-й строке.
Пример 7. Вычислить определитель матрицы
Ответ
5

0

À
2

0
0 1 1 

6 0 8 
1 2 0

1 2 2 
назад
Решение (Пример 7):
1) Выберем произвольную строку, например, 2-ю строку.
2) Воспользуемся теоремой разложения по строке (i = 2):
4
det À   a2 k  A2 k  a21  A21  a22  A22  a23  A23  a24  A24 
k 1
0 1 1
 0   1
2 1
 1 2 0  6   1
1 2 2
5 1 1
2 2
2 2 0 
0 2 2
5 0 1
0   1
23
 2 1 0   8    1
0 1 2
5 0 1
2 4
 2 1 2  136.
0 1 2
назад
Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца k (k=1,2,…,n), для
определителя n-го порядка справедлива формула
n
n
или
ik
det A    1
i 1
 aik  M ik
det A   aik  Aik
i 1
называемая разложением этого определителя по k-му столбцу.
Пример 8. Вычислить определитель матрицы (самостоятельно)
5

0

À
2

0
0 1 1 

6 0 8 
1 2 0

1 2 2 
назад
Свойства определителей:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Определитель не изменится при замене всех его строк
соответствующими столбцами. Пример 1)
При перестановке двух столбцов (строк) определитель
меняет знак. Пример 2)
Множитель, общий для элементов некоторого столбца
(строки), можно выносить за знак определителя. Пример 3)
Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками)
равен нулю. Пример 4)
Определитель равен нулю, если все элементы некоторого
столбца (строки) равны нулю. Пример 5)
Определитель с двумя пропорциональными столбцами
(строками) равен нулю. Пример 6)
Частные случаи
назад
Пример 1):
Проверить
det A  det A
T
, если
 1 2 3 


A 0 4 0 
 3 0 1


назад
Пример 2):
Проверить
если
det A   det B
,
 1 2 3 


A 0 4 0 
 3 0 1


0 4 0


B   1 2 3 
 3 0 1


назад
Пример 3):
Проверить
1
3
0
1
3
0
0
2
2
0
6  2  0
5
2
1
0
3
5
назад
Пример 4):
Проверить
1 3 0
0 2 6  0
0
2
6
назад
Пример 5):
Проверить
0 3 0
0 2 6  0
0
2
6
назад
Пример 6):
Проверить
2
0
3 0
2 6  0
6
9
0
назад
Частный случай 1:
à11
à12
... à1n
0
...
0
à22 ... à2 n
 a11  a22  ...  ann
... ... ...
0 ... ànn
Пример
далее
Пример (Частный случай 1):
Проверить
1 2 3
0 5 6
0 0 8
4
7
 400
9
0 0 0 10
назад
Частный случай 2:
à11 ... à1( n 1)
à1n
à21 ... à2( n 1)
... ...
...
àn1 0
...
0
 a1n  a2( n 1)  ...  an1
...
0
Пример
назад
Пример (Частный случай 2):
Проверить
1 1 1 1
2 2 2 0
 24
3 3 0 0
4 0 0 0
назад
Спасибо за внимание!
Не забывайте готовиться к
лекциям и семинарам!
(Тема следующей лекции «Обратная матрица.
Ранг матрицы»)
Удачи!