Семинар №4 Множества на плоскости. Задачи с параметром. «Ты когда-нибудь видела, как рисуют множество?» – «Множество чего?» – спросила Алиса. – «Ничего,– отвечала Соня, – просто множество!» Л. Кэрролл. Алиса в стране чудес. Задачи для решения в классе. 1. Найдите все значения x , при котором хотя бы одно из двух выражений Ax x 4 x 5 x 4 8x , 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Bx x x x 9 36 неотрицательно и при этом его модуль не превосходит модуля другого. Решите неравенство x 2a x 2a . x2 2xx2 6x 9 a . Найдите все значения параметра a при каждом из которых неравенство 8 x 2 20 x 16 a верно для любого x . 4 x 2 10 x 7 Найдите все значения параметра a , при каждом из которых сумма длин интервалов, x 2 2a 2 2x a 2 4 x 6 составляющих решение неравенства 2 0 не меньше 1. x a 2 5a 5x a 2 4 x 6 Фигура задана на плоскости системой неравенств y 2 x 2 2 6 y 2 x 2 y x 2 5 y 7 x 1 0, y 1 x. Сколько интервалов на прямой y 2 x образует ортогональная проекция фигуры на указанную прямую. Найдите целые решения системы неравенств m 2 n 2 16m 22n 171, 30m n 2 252 14n m 2 . На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты a, b которых таковы, что система уравнений ax b 4 y 2, a 4x by 3, bx a 6 y 3 имеет единственное решение. Изобразите фигуру Ф и составьте уравнения всех прямых, каждая из которых проходит через точку 0,7 и имеет с фигурой Ф единственную общую точку. На координатной плоскости рассматривается фигура М, состоящая из всех точек, координаты a, b которых удовлетворяют системе неравенств xy y 2 x, 15 x 25 1 . 2 2 x y 625 26 Изобразить фигуру М и найти её площадь. 10. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, коор- динаты a, b которых таковы, что система неравенств x 2 3 a 2 b 2 x 3 a 2 b 2 0, 2 2 x 2a 2b 25x 25a b 0 не имеет решений. Найти площадь фигуры Ф. Домашнее задание. 1. Найти площадь фигуры Ф, которая задана системой неравенств x 2 y 2 10, 2 2 3x 3 y 3 2 y 1, а) б) 3x 2 4 x 32 0, y 4 2 3 x ; 3x 2 y 3 y x 10 0. 2. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты a, b которых таковы, что каждое решение неравенства x 2 2a 2 b2 x 2b2 2a 2 b2 0 является решением неравенства x2 a 2 b2 8 x b2 1 a 2 9 0 . Найти площадь фигуры Ф. 3. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств xy 2 x y, 3 . y 8 1 x 2 y 2 64 10 Изобразите фигуру Ф и найдите ее площадь. 4. Найдите все значения x , при котором хотя бы одно из двух выражений Ax x 3 x 5 x 3 6 x , Bx x x x 8 24 не положительно и при этом его модуль не превосходит модуля другого. 5. Фигура задана на плоскости системой неравенств x 2 y 2 2 6x 2 y 2 x y 2 7 x 5 y 1 0, y 1 x. Сколько интервалов на прямой y x 3 образует ортогональная проекция фигуры на указанную прямую. 6. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты a, b которых таковы, что система уравнений a 2x by 1, ax b 2 y 2, b 4x ay 2 имеет единственное решение. Изобразите фигуру Ф и составьте уравнения всех прямых, каждая из которых проходит через точку 10,0 и имеет с фигурой Ф единственную общую точку. 7. На координатной плоскости рассматривается множество N всех точек, координаты a, b которых удовлетворяют условию: a b , a 3 , b 3 и таковы, что уравнение a b 3 x 4 3a b x 2 1 0 a b не имеет корней. Требуется установить принадлежит ли точка Р 2,1 множеству N и найти площадь многоугольника, внутренней областью которого является множество N. 8. Для каждого числа p на координатной плоскости рассматривается множество М точек, координаты которых удовлетворяют условиям a 0 , b 0 , a 2b 1 , 6b 2a p и таковы, что система уравнений 4 x 2 4 xy py 2 a 2 , x y b имеет два различных решения. Найти площадь многоугольника, внутренней областью 1 которого является множество М, если p . Найти все действительные значения p , 8 при которых множество М является внутренней областью многоугольника. 3