Метод областей на координатной плоскости Решение задач с параметрами Метод интервалов на координатной прямой и метод областей на координатной плоскости. Точка x a разбивает числовую прямую на два множества, задаваемые неравенствами x a и x a Всякая действительная кривая на координатной плоскости, заданная уравнением F x, y 0 разбивает координатную плоскость на конечное число областей, в каждой из которых для всех точек области выполняется только одно из неравенств: F x, y 0 или F x, y 0 Заметим, что переменные, входящие в уравнение, задающее кривую, могут иметь другие идентификаторы xa xa xa x y F x, y 0 F x, y 0 F x, y 0 x Примеры y kx p y kx p Всякая прямая, заданная уравнением y kx p , разбивает плоскость на области, в каждой из которых выполняется одно из неравенств: y kx p или y kx p Прямая, заданная уравнением x c , разбивает координатную плоскость на области, в каждой из которых выполняется одно из неравенств: или x c , или x c y 0 y kx p xc x y xc xc x 0 y k1x p1 y Решением системы неравенств с двумя переменными являются координаты точек пересечения множеств, удовлетворяющих одному из неравенств системы 0 y k x p 1 1 y k2 x p2 x y k2 x p2 Задача y Пусть M – множество точек плоскости с координатами x ; y таких, что числа x, y, 6 2 x являются сторонами некоторого треугольника. Найдите его площадь. Решение. Если три числа являются сторонами некоторого треугольника, то это числа положительные и каждое из них меньше суммы двух других чисел. Поэтому, координаты точек, удовлетворяющих условию задачи, будут задаваться системой линейных неравенств с двумя переменными: 0 x 3 0 x y 6 2 x y 0 0 y x 6 2 x y 3x 6 0 6 2 x x y y 6 x y 6 3x 6 5 4 3 2 1 0 x 1 2 Находим площадь: 3 S 6 4 Уравнение y k x x0 y0 задает множество прямых, проходящих через точку с координатами x ; y . 0 0 При изменении значений параметра прямые y k x x0 y0 «поворачиваются» вокруг данной точки. При увеличении параметра прямая поворачивается «против часовой стрелки», при уменьшении – «по часовой стрелке». Уравнение y kx p при фиксированном значении параметра k k0 задает семейство прямых, параллельных y0 kx0 p k 0 y0 x 0 k 0 y k0 x x 0 x0 y k0 x p, p 0 y прямой y k0 x , проходящей через начало координат. Если точка с координатами x0 ; y0 лежит «выше» прямой заданной уравнением y kx p , то ее координаты удовлетворяют неравенству y0 kx0 p , если же точка лежит «ниже», то неравенству k 0 y y k0 x p, p 0 y y0 kx0 p x y0 kx0 p 0 y kx p Задача. Вариант ЕГЭ-2010 Задача С-5 Найдите все значения параметра a , при каждом из которых общие решения неравенства y 2x a и y x 2a являются решениями неравенства 2 y x a 3 . Решение. Общие решения двух неравенств – решение системы этих неравенств. Так как каждое из неравенств – линейное, с двумя переменными, то их общие решения образуют некоторое множество точек на координатной плоскости. Границами области при каждом значении параметра будут являться прямые, заданные уравнениями y 2x a и y x 2a. Первая из yx . них – прямая, параллельная прямой y 2x, а вторая y y x 2a 0 x y 2x a Рассмотрим неравенство 2y x a 3 Преобразуем его к виду y 1 x a 3 2 2 Область, в которой выполняется неравенство расположена выше прямой y 1 x a 3 2 2 y 1 x a, 3 2 2 y y 1 x a 3 2 2 0 x y y x 2a 1 2 0 3 x y 2x a Решение: Общие решения первых двух неравенств будут являться решениями третьего неравенства, если точка пересечения первых двух прямых будет лежать выше третьей прямой. Найдем координаты точки пересечения первых двух прямых: x a, y 2 x a 3 3x a 0, y x 2a y x 2a y 5a 3 Так как точка пересечения прямых расположена выше прямой, заданной уравнением 2 y x a 3 , то 10 a 1 a a 3 a 9 3 3 8 Ответ: 9 8 ; ГМТ на плоскости Множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки на расстояние, равное положительной величине R, называется окружностью. 2 y b R2 , R 0 2 Множество точек, удаленных от данной точки на положительное расстояние, меньшее R, называется кругом. Круг задается неравенством x a x Уравнением окружности называется уравнение вида x a y 2 y b R2 , R 0 2 Множество точек, лежащих вне круга, задается неравенством x a y b R2 , R 0 2 y 2 x ГМТ на плоскости Квадратным трехчленом относительно переменной, называется выражение y y y ax2 bx c, a 0 Графиком квадратного трехчлена является кривая, называемая параболой. Расположение параболы зависит от знака старшего коэффициента и знака дискриминанта квадратного трехчлена D b2 4ac Парабола разбивает плоскость на часть, лежащую «над» параболой и лежащую «под» параболой. Первая задается неравенством y ax2 bx c , а 2 вторая – y ax bx c x x y y y x x x x Примеры Постройте неравенств: Найдите ГМТ, заданное системой x 2 y 2 16 x y 0 площадь фигуры, координаты точек которой, являются решением системы неравенств Решение: y 6 5 4 3 2 1 2 1 0 1 2 3 x ГМТ на плоскости Дробно-линейной называется функция вида y ax b , c 0 y cx d Графиком дробно-линейной функции является кривая, называемая гиперболой и состоящая из двух частей – «ветвей» гиперболы. ya c x 0 a Прямые cx d 0 и y называются c асимптотами графика Асимптоты разбивают координатную плоскость на 4 части – четверти. График расположен либо в 1 и 3, либо во 2 и 4 четвертях. Для определения расположения достаточно построить асимптоты и хотя бы одну точку графика. cx d 0