Lekciya_3

Лекция № 3. Математические модели сигналов.
Сигнал – процесс изменения во времени физического состояния какого-то объекта,
служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений. Сигналы –
электрические, акустические, оптические и т.д.
Классификация сигналов. Сигналы: детерминированные и случайные; периодические и
непериодические; импульсные (видеоимпульсы, радиоимпульсы); аналоговые,
дискретные и цифровые.
Математические модели физических сигналов: временная и частотная формы
представления аналоговых сигналов.
Типовые виды сигналов, используемых при анализе измерительных систем:

единичная функция (функция включения, функция Хевисайда) 1(t ) ;

дельта-функция (функция Дирака)  (t ) ;

гармоническое колебание s(t )  A0 cos(0t  0 ) .
Временная форма представления аналогового сигнала
Временным представлением сигнала называют такое разложение сигнала s (t ) , при
котором в качестве базисных функций используются дельта-функции  (t ) . Пользуясь
фильтрующим свойством дельта-функции, можно записать:
s(t ) 




 s( ) (  t )d   s( ) (t   )d
.
(3.1)
Таким образом, функция s (t ) выражена в виде совокупности примыкающих друг к
другу импульсов бесконечно малой длительности. Ортогональность совокупности
таких импульсов очевидна, так как они не перекрываются во времени.
Разложение (3.1) имеет большое значение в теории линейных систем, т.к.
установив реакцию системы на элементарный входной сигнал в виде дельта-функции,
можно определить реакцию системы на произвольный входной сигнал как
суперпозицию реакций на бесконечную последовательность смещенных дельтаимпульсов с «площадями», равными соответствующим значениям входного сигнала.
Частотная форма представления периодических сигналов
Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является
периодический сигнал: s (t )  s (t  nT ), n  1, 2,3,... Здесь T – период сигнала.
Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.
Введем основную частоту 1  2 T последовательности, образующей периодический
сигнал. Ряд Фурье для периодического сигнала будет иметь вид:
1
s(t ) 
a0

2
  (an cos n1t  bn sin n1t ) .
(3.2)
n 1
Коэффициенты разложения функции в ряд Фурье находят по формулам:
T 2
2
a0 
s(t )dt ,
T T 2
(3.3)
T 2
2
an 
s(t ) cos n1tdt ,
T T 2
(3.4)
T 2
2
bn 
s(t ) sin n1tdt.
T T 2
(3.5)
Таким образом, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от
времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так
называемых гармоник с частотами  n  n1, (n  1, 2,3,...), кратными основной частоте 1 .
Каждую гармонику можно описать ее амплитудой An и начальной фазой  n . Для
этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде:
an  An cos n , bn  An sin n , так что
An  an2  bn2 ,
tgn  bn an .
Подставив эти выражения в (3.1), получим другую, эквивалентную форму ряда
s(t ) 
Фурье:
a0 
  An cos(n1t   n ).
2 n 1
(3.6)
Ряд Фурье для периодического сигнала s (t ) может быть записан в форме:
s (t ) 
1 
A( jn1 )e jn1t ,

2 n 
(3.7)
T
где
2 2
A( jn1 )   s (t )e  jn1t dt
T T
(3.8)
2
Соотношение (3.6) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме,
содержащий экспоненциальные функции как с положительным, так и с отрицательным
параметром  (двустороннее частотное представление). Составляющие с
«отрицательными частотами» являются следствием комплексной формы записи
вещественной функции.
Функцию A( jn1 ) принято называть комплексным спектром периодического
сигнала s (t ) . Этот спектр – дискретный, или линейчатый, так как функция A( jn1 )
2
определена только для целых значений n . Значение функции A( jn1 ) при конкретном n
называют комплексной амплитудой. Запишем комплексный спектр в форме:
A( jn1 )  A(n1 )e j ( n1 ) .
(3.9)
Модуль комплексного спектра A(n1 ) называют спектром амплитуд, а функцию  (n1 ) –
спектром фаз сигнала s(t). Спектры амплитуд и фаз периодического сигнала являются
дискретными. При этом спектр амплитуд является четной функцией n , т. е.
A(n1 )  A(n1 ) , а спектр фаз – нечетной функцией n , т.е.  (n1 )   (n1 ) .
От двухстороннего спектрального представления легко перейти к
одностороннему (не имеющему отрицательных частот), объединяя комплексносопряженные составляющие. В этом случае получим ряд Фурье в тригонометрической
форме, ранее записанный в виде (3.2).
Спектр амплитуд и спектр фаз периодического сигнала удобно представлять
наглядно в виде спектральных диаграмм. Пример спектральной диаграммы амплитудного
спектра сигнала, отображаемого совокупностью линий на частотах n1 , приведен на
рисунке:
A(n1 )  An
0 1

21
31
41
Огибающую A( ) этого спектра амплитуд можно получить, заменив n1 в A(n1 ) на  ,
где   n1 для n -ой гармоники сигнала. Отметим, что дискретный (линейчатый) спектр
характеризует не только периодические сигналы. Линейчатые спектры, включающие
гармоники некратных частот, могут принадлежать так называемым почти периодическим
сигналам.
Спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Определим спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных
импульсов длительностью  и амплитудой U 0 , следующих с частотой 1  2 T (см.
рисунок):
3
u (t )
U0
t

T
Запишем u (t ) в виде ряда Фурье в соответствии с выражением (3.2):
u (t ) 
a0

2
  (an cos n1t  bn sin n1t ) .
(3.10)
n 1
Коэффициенты разложения найдем по формулам (3.3) – (3.5). При этом введем параметр
N  T , называемый скважностью импульсной последовательности.

Значения коэффициентов равны:
a0 U 0

;
2
T
an 
(3.11)
2U 0
n 
sin 1 ;
n
2
(3.12)
bn  0 , т.к. функция u (t ) – четная, и
A(n1 )  An  an .
Отсюда u (t ) 
U0
N

sin  n1 2 


1

2
cos n1t  ,


n1 2
n 1


(3.13)
а амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую A0 2 , определяются из
выражения:
A(n1 )  An  2
U 0 sin  n N 
, при n = 0,1,2,…
N
n N
(3.14)
Анализ зависимостей (3.11) – (3.13) показывает:

При больших значениях скважности импульсной последовательности  N
1 ,
амплитудный спектр сигнала содержит большое число медленно убывающих по
амплитуде гармоник. При этом расстояние между соседними линиями мало, а
амплитуды соседних гармоник близки по величине.

Значение постоянной составляющей A0 2 примерно вдвое меньше амплитуды
первой гармоники A1 .
4

На частотах, кратных 2
  n , огибающая спектра равна нулю. Следовательно,
амплитуда гармоник, чей номер кратен скважности N , будет равна нулю.

Огибающая спектра амплитуд определяется видом функции
A( ) 
2U 0 sin( 2)
.
T
 2
(3.15)
Пример спектральной диаграммы периодической последовательности прямоугольных
импульсов для скважности N  5 приведен на рисунке:
A(n1 )  An
0 1
21 31 41 51 61 71 81 91 101
21
1
1 1 1
1

5