1 Лекція 34. Сигнали з обмеженим спектром. 1.Ідеальний низькочастотний сигнал. 2.Ортогональні сигнали з обмеженим спектром. 3. Теорема Котєльнікова. 4. Побудова ортонормованого базису. 5. Ряд Котєльнікова. 6.Принципова важливість ряду Котєльнікова. Литература: Л1.с.59-62, Л2. с.135-142 1. Идеальный низкочастотный сигнал. Согласно теории фильтров, любой ограниченный во времени сигнал обладает бесконечно широким спектром. Однако работа с бесконечно широким спектром в реальных условиях невозможна. Реальные РТ устройства обладают ограниченной полосой пропускания. На основании этого перед нами стоит задача рассмотрения теории, описывающей спектральный анализ и восстановление сигналов с ограниченным спектром. Спектральная плотность такого сигнала может быть представлена в таком виде. S ( ) 0 D S ( ) 0 D где D -ограниченная (конечная) область оси частот. Тогда сигнал может быть представлен в виде обратного преобразования Фурье от данной спектральной плотности по участку 1 S (t ) 2 D. ( )e jt d S D Ограниченному по частоте спектру соответствует временная функция в бесконечно широком интервале времени. Рассмотрим конкретную задачу, когда в пределах частот среза спектральная плотность есть величина постоянная. S ( ) S ( ) S 0 D в в в -верхняя частота. S 0 S ( ) 0 в в в; в Определим вид сигнала, имеющего ограниченный по оси частот спектр. 1 S (t ) 2 в jt S e 0 d в 2 в S0 e jt в 2jt S 0 (e jв t e jв t ) S 0в sin вt 2 jt вt В результате вычислений получена функция в виде арочного синуса. S (t ) t t0 Согласно последнему выражению с ростом сигнала и при в возрастает и значение самого t 0 достигает своего максимального значения. При очень узком спектре, когда в 0 , идеальный низкочастотный сигнал превратится в протяженную функцию. В свою очередь, когда ширина спектра сигнала очень велика и стремится в , сигнал вырождается в δ – функцию. Семейство сигналов этого типа можно обобщить, вводя временную задержку t 0 на оси времени. Обозначим такой сигнал, как Тогда: S0 ( )e jt0 S ( ) 0 S2 . в в в; в S 0в sin в(t t 0 ) S 2 (t ) в(t t 0 ) 2. Ортогональные сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова. Свойства сигналов с ограниченным спектром позволяет найти новый интересный класс ортогональных сигналов. Данный класс идеально подходит для представления 3 сигналов с ограниченным спектром. Простейший пример таких сигналов это два идеальных низкочастотных сигнала смещенных во времени друг относительно друга на время скалярное произведение равнялось нулю. Рассмотрим два идеальных НЧ-сигнала t 0 , таким образом, чтоб их U (t ) и V (t ) . Они оба имеют спек- S 0 , и ограничены по верхней частоте в . Однако сигнал V (t ) запаздывает на время t 0 относительно сигнала U (t ) , так, что тральную плотность V ( ) U ( )e jt0 Обратное преобразование Фурье от скалярного произведения этих сигналов вычисляется через их спектральные плотности. 1 F (UV ) 2 S02 2 в e в ( )V ( )e jt d 1 U в 2 j ( t t 0 ) в ы 2 jt 0 jt S 0 e e d ы в S02 d e j (t t 0 ) в 2j (t t0 ) S02 e jв (t t 0 ) e jв (t t 0 ) S02 в sin в (t t0 ) (t t0 ) 2j в(t t0 ) Скалярное произведение этих двух сигналов в чистом виде будет выглядеть так. в sin вt 0 (UV ) S вt 0 2 0 Скалярное произведение обращается в ноль и два НЧ – сигнала становятся ортогональными друг к другу при условии в t 0 k . где k 1,2,3,... Данное условие означает,то t0 = k в . Минимальный дискретный сдвиг между двумя идеальными НЧ- сигналами будет равен t0 1 в 2fв 2 fв Таким образом, путем задержки во времени ряда сигналов друг относительно друга удалось добится не просто скалярного произведения, а создать семейство 4 ортогональных функций, которое можно использовать для разложения сигналов в обобщенный ряд Фурье, при условии, что данные сигналы имеют ограниченный по частоте спектр. S (t ) в t 3 в Полученный результат формулирует основное положение Теоремы Котельникова, которая доказывает, непрерывный сигнал практически точно восстанавливается на основе его дискретных отсчетов, при условии, что дискретизация происходит с определенным шагом t . t k в 3. Построение ортонормированного базиса. Как было показано выше, любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащих семействам вида K (t ) A sin в(t t 0 ) в(t t 0 ) k )в в k в(t ) в A sin( t где (k 1,2,...) являются ортогональными. Путем соответствующего подбора коэффициентов A , можно добиться, чтобы норма каждой из данных функций была равна единице. Таким образом будет создан ортонормированный базис, позволяющий разложить сигнал любой формы с ограниченным спектром в виде суммы идеальных НЧ – сигналов, взятых с определенным шагом задержки. Для выбора коэффициента A рассмотрим нулевую базисную функцию, так как от выбора функции коэффициент нормировки меняться не должен. 0 (t ) A 5 sin вt вt Тогда из условия нормировки. i j i j dt 1 (i j ) 0 sin 2 вt A 2 A dt 2 в (вt ) 2 На основании того, что норма данной функции должна быть равна единице в A 2 1 , то нормировочный коэффициент A в . Бесконечная совокупность функций вида SCK (t , в) sin в(t k ) в в в(t k ) в образуют ортонормированный базис Котельникова в мнимом пространстве НЧ сигналов со спектрами ограниченными сверху частотой является отсчетной функцией ряда Котельнкова. в . Каждая функция S C K 7.5Ряд Котельникова. Ранее было доказано, что два сигнала, с ограниченным спектром принадлежат семейству функций вида. K (t ) k )в в k в(t ) в A sin( t (k 0,1,2,...) Эти сигналы являются ортонормированными. Выбором коэффициента A в было достигнуто то, что норма каждого из этих сигналов стала равна единице. В результате был построен ортонормированный базис, позволяющий разложить любой сигнал с ограниченным спектром в обобщенный ряд Фурье. Любой сигнал S (t ) спектральная плотность которого отлична от нуля в полосе частот от в до в можно разложить в обобщенный ряд Фурье по сумме базисных функций 6 Котельникова. S (t ) C K K (t , в ) K 0 Известно, чтобы записать обобщенный ряд Фурье в базисе Котельникова необходимо рассчитать проекционные коэффициенты по базисным направлениям. Как известно, коэффициенты обобщенного ряда Фурье скалярное произведение сигнала C K ( S (t ), K (t , в)) S (t ) S (t ) CK и отсчетной функции в sin в(t в(t k t )в в в S (t ) dt k в( t) в рассчитываются как K (t , в) . k ) в dt k ) в sin( Сделаем замену переменной. k t x в Для дальнейших расчетов представим функцию sin вx x в ином виде. в sin вx e jвx e jвx e jx в 1 e jx d x 2 jx x2 j в 2 в Подставим найденную первообразную в выражение для скалярного произведения. Подставим в в 1 1 jx CK S ( t ) e d dt k в x t 2 в в в j ( kв t ) 1 S ( t ) e d dt 2 в 2 в в 1 в e в j k в jt S (t )e dt d 7 Внутренний интеграл ни что иное, как спектральная плотность сигнала помножив наше выражение на 1 CK в 2 S (t ) , тогда , получим. в ( )e S j k в d в Последнее выражение есть обратное преобразование Фурье от нашего сигнала. На основании этого можно записать. CK S k S (kt ) в в в k 0,1,2,... Из последнего выражения видно, что проекционные коэффициенты Ск в обобщенном ряде Фурье при разложении на базисные функции Котельникова будут являться kt , с дискретными отсчетами сигнала, взятыми с шагом дискретизации k в точностью до коэффициента . в в Таким образом, любой сигнал S (t ) , ограниченный сверху частотой , представленный дискретными значениями этого сигнала, взятыми через равные промежутки времени с шагом t 1 2 fв может быть представлен рядом Котельни- кова. k sin в (t ) в в S (t ) S (kt ) k в k 0 в (t ) CK в K ( t ,в ) S (t ) S (kt ) k 0 sin в(t в(t k ) в k ) в -Ряд Котельникова. 8 5.Принципиальная важность ряда Котельникова. Принципиальная важность ряда Котельникова заключается в том, что он дает решение как прямой задачи – выбора интервала дискретизации t , так и обратной задачи – восстановление сигнала S (t ) по заданной последовательности его дискретных отсчетов. В соответствии с последним выражением процедура восстановления сигнала сводится к суммированию бесконечного числа функций Котельникова K (t , в) с весовыми коэффициентами S (kt ) . Это означает, что точное восстановление сигнала S (t ) с ограниченным спектром возможно только при бесконечной протяженности этого сигнала во времени. Реальные сигналы ограниченны во времени и обладают вследствие этого теоретически неограниченными по частоте спектрами. Однако вне некоторой полосы частот составляющие реальных спектров обладают малой энергией, по сравнению с энергией всего сигнала S (t ) . Такие сигналы можно приближенно считать ограниченными по времени и по частоте и представлять рядом Котельникова. Если у сигнала S (t ) длительностью TC ограничить спектр по частоте fв то в соответствии с теоремой Котельникова можно образовать число отсчетов, равное N TC 2TC fв . t Число N дискретных отсчетов сигнала называют базой сигнала или числом степеней свободы. Сигнал, ограниченный по времени приближенно описывается рядом Котельникова, состоящим из конечного числа членов. N S (t ) S (kt ) k 0 При суммировании членов ряда сигнал sin в(t в(t S (t ) k ) в k ) в точно воспроизводится только в точках отсчетов t t K . В промежутках между отсчетами возникает ошибка аппроксимации, которая подчинена двум составляющим. 1. Искусственным ограничением спектра из расчета спектральных составляющих находящихся выше частоты . 2. Взятием конечного числа дискретных отсчетов. в Доцент кафедры КСЗИ О.П.Крат