Теорема Котельникова Материал из Gir Эта статья находится в процессе согласования и доработки с преподавателем, осуществляющим её методическое сопровождение. Содерж ание [показа ть] [править]1 Дискретное представление сигналов с финитным спектром При проектировании процесса передачи сигналов в большинстве КПС рассматриваются многомерные сигналы , подвергнутые дискретизации. Как правило, функции, описывающие такие сигналы, не являются финитными. Однако для апериодических импульсных сигналов с большой скважностью такое предположение, вообще говоря, неверно. Тем не менее, в инженерных моделях с наперед заданной точностью можно принять, что высокочастотный поддиапазон спектра такого сигнала имеет амплитуду, близкую нулю. Такие сигналы, далее называемые сигналами с финитным спектром, можно точно восстановить по некоторым их выборочным значениям, взятым в дискретной совокупности точек на отрезке (одномерный случай), на плоскости (двумерный сигнал), и т.д. Для двумерного случая это означает, что если задать внутри финитной области вполне определенное число точек, аппликаты которых изображают дискретные значения сигнала с финитным спектром, то непрерывная поверхность, представляющая собой график функции может быть проведена единственным образом. 1 [править]2 Теорема Котельникова для двумерного случая Теорема Котельникова утверждает, что двумерный сигнал спектром с финитным можно восстановить без потери. Доказательство теоремы проведем для частного случая, когда спектр отличен от нуля в прямоугольной области . В этом случае сигнал можно с любой степенью точности представить в виде дискретной суммы значений (отсчетов), взятых через конечные промежутки , . Эту теорему называют также теоремой о дискретном представлении, или теоремой отсчетов, или теоремой выборки. Пусть задан финитный спектр (рис. 1): Рис.1. Геометрическая модель двумерного пространственно-частотного спектра (ПЧС) финитной функции Далее введем в рассмотрение выборочную функцию 2 , фурье-образ которой равен двумерной бесконечной периодической сумме (рис. 2) дискретно смещенных финитных спектров исходного сигнала . Рис.2. Геометрическая модель двумерного ПЧС выборочной функции Таким образом, . Тогда исходный финитный спектр , показанный на рис. 1 можно представить в виде произведения фурье-образа выборочной функции и двумерного прямоугольного импульса . В результате обратного преобразования Фурье из с учетом найдем . 3 Откуда после преобразований, основанных на свойствах: преобразование Фурье (как прямое, так и обратное) от свертки двух функций соответствует произведению их Фурье-образов; преобразование Фурье от гребенчатой функции – гребенчатая функция; фильтрующее свойство дельта-функции, можно записать: . Переставляя местами двойной интеграл и двойную сумму, с учетом фильтрующего свойства функции получим окончательное выражение для ряда Котельникова где , . Выражение суммы представляет сигнал с финитным спектром в виде бесконечной двойной -образных базисных сигналов. Иначе говоря, для восстановления сигнала необходимо вычислить бесконечную двойную сумму в виде линейной комбинации сигналов с амплитудой из совокупности выборочных значений. Восстановление сигналов осуществляется в результате последовательного сдвига функций в точке . Базисный сигнал называют интерполяционной функцией, или функцией отсчетов. График ряда Котельникова для одномерного сигнала приведен на рис. 3. 4 Рис.3. Двумерная геометрическая модель, идентифицирующая одномерный восстановленный сигнал в виде суммы -образных базисных типовых сигналов Для одномерного временного сигнала интервале , ряд Котельникова имеет вид При этом для восстановления сигнала интерполяционная функция с финитным спектром, отличным от нуля на в каждой точке выборки с амплитудой строится . Строго говоря, сигналов с финитным спектром не существует. Однако для большинства реальных сигналов спектральная плотность на высоких частотах ничтожно мала. Поэтому большая часть энергии сигнала локализована в ограниченной частотной области, а сам сигнал хорошо аппроксимируется функцией с финитным спектром. Погрешность, возникающая при отбрасывании высших частотных гармоник, пренебрежимо мала. [править]3 Свойства выборочной функции Функция , 5 называемая выборочной функцией, представляет собой двумерную функций - решётку из с амплитудой . Рассмотрим её основные свойства. 1. Функция имеет размерность исходного сигнала . 2. Объем выборки пропорционален сумме выборочных значений 3. Спектр выборочной функции равен бесконечной двумерной сумме дискретно смещенных финитных спектров исходного сигнала и совпадает со вспомогательной функцией на рис. 2, так что . 4. Свёртка с интерполяционной функцией восстанавливает исходный сигнал с помощью ряда Котельникова , который можно записать в виде . На практике часто используют выборочную функцию , отличающуюся от функции постоянным коэффициентом. Ее свойства совпадают со свойствами . [править]4 Переналожение спектров Пусть выборка осуществляется через произвольные промежутки , т.е. ; , т.е. . В этом случае вспомогательная функция имеет вид . Подставляя ее в , в результате обратного преобразования Фурье получим выражение для обобщенного ряда Котельникова , которое при , переходит в ряд Котельникова . 6 Если теперь интервалы выборки то для выборочной функции , т.е. , т.е. ; , имеем . В свою очередь для спектра выборочной функции по аналогии с . На рис. 4 (а,б) приведены одномерные спектры и . Рис.4. Геометрическая модель двумерного одномерных пространственно-частотных спектров (ПЧС), идентифицирующая их переналожение: а - ПЧС входного сигнала;б - ПЧС выборочной функции при Так как , то использование низкочастотного ПЧФ с передаточной функцией передаче по каналу связи в виде не позволяет выделить спектр сигнала в чистом виде. В отфильтрованном спектре налагающихся спектров при исходного будут присутствовать частоты от соседних (рис. 4б). В результате переналожения спектров возникают так называемые шумы дискретизации. 7 8