Сигналы и их характеристики

Лекция №6
Тема: Сигналы и их характеристики
1. Характеристики сигналов, передаваемых по каналу.
2. Модуляция сигналов
3. Виды и характеристики носителей
4. Спектры сигналов:
А) периодические
Б) непериодические
Лекция №6
Тема: Сигналы и их характеристики.
1. Характеристики сигналов передаваемых по каналу.
Сигнал может быть охарактеризован различными параметрами. Таких
параметров, вообще говоря, очень много, но для задач, которые приходится
решать на практике, существенно лишь небольшое их число. Например, при
выборе прибора для контроля технологического процесса может
потребоваться знание дисперсии сигнала; если сигнал используется для
управления, существенным является его мощность и так далее.
Рассматривают три основных параметра сигнала, существенных для
передачи информации по каналу. Первый важный параметр- это время
передачи сигнала Tx . Второй характеристикой, которую приходится
учитывать, является мощность Px сигнала, передаваемого по каналу с
определенным уровнем помех Pz . Чем больше значение Px по сравнению с
Pz, тем меньше вероятность ошибочного приема. Таким образом,
представляет интерес отношение Px/Pz . Удобно пользоваться логарифмом
этого отношения, называемым превышением сигнала над помехой:
Lx  log a (
Px
)
Pz
Третьим важным параметром является спектр частот Fx . Эти три
параметра позволяют представить любой сигнал в трехмерном пространстве
с координатами L, T, F в виде параллелепипеда с объемом Tx Fx Lx . Это
произведение носит название объема сигнала и обозначается через Vx
Vx  TxFxLx
2. Модуляция сигналов.
Сигналами называются физические процессы, параметры которых
содержат информацию. В телефонной связи при помощи электрических
сигналов передаются звуки разговора, в телевидении – изображения.
Назначение сигналов заключается в том, чтобы в каком-либо физическом
процессе отобразить события, величины и функции.
Для образования сигналов используются фиксированный уровень,
колебания или импульсы любой физической природы, которые
рассматриваются как носители информации. В исходном состоянии эти
носители представляют собой как бы чистую поверхность, подготовленную к
нанесению необходимых данных – модуляции. Последняя заключается в том,
что изменяется один или несколько (сложная модуляция) параметров
носителя в соответствии с передаваемой информацией. Эти параметры
называются информационными.
Модуляцией в общем случае называется изменение по заданному закону
параметров какого либо регулярного физического процесса. Например, для
создания изображения в кинескопе телевизора ток луча изменяется с
помощью специального электрода – модулятора.
Процесс модуляции требует участия, по крайней мере, двух величин.
Одна из них содержит всю передаваемую информацию и называется
модулирующим сигналом, вторая представляет собой высокочастотное
несущее колебание, которое модулируется посредством изменения одного
или нескольких параметров. В подавляющем большинстве случаев в качестве
используется синусоидальное колебание, имеющее три параметра –
амплитуду, частоту и фазу. В зависимости от изменяемого параметра
различают три основных вида модуляции – амплитудную, частотную и
фазовую.
В качестве несущего колебания могут использоваться также различные
незатухающие функции, последовательности импульсов и даже шумы. Для
последовательности импульсов параметрами модуляции могут быть
амплитуда импульсов, длительность, частота следования. Например, в
импульсных источниках питания и низкочастотных усилителях мощности
для повышения КПД применяется широтно-импульсная модуляция – ШИМ.
3. Виды и характеристики носителей
Если обозначить параметры носителя через a1 , a2 , …, an ,то носитель
как функция времени может быть представлен в виде:
UН =g(a1 , …, an ,t).
Модулированный импульс (сигнал) можно описать в виде:
Ux =g[a1 , …, ai +ai (t), …,an ,t],
где ai (t)- переменная составляющая параметра носителя, несущая
информацию, или модулирующая функция. Последняя обычно связана с
информационной (управляющей) функцией x линейной зависимостью:
ai =K·x,
где K – коэффициент пропорциональности.
Первый тип носителя UН (t) – постоянное состояние, например,
постоянное напряжение имеет только один информационный параметр; это в
данном случае – значение напряжения, причем модуляция сводится к такому
изменению напряжения, чтобы оно в определенном масштабе представило
передаваемые данные. При этом может изменяться и полярность
напряжения.
Второй тип носителя – колебания, например переменное напряжение
содержит три таких параметра: амплитуду U, фазу φ, частоту ω (или период
T=2π/ω).
Третий тип носителя – последовательность импульсов – предоставляет
собой еще большие возможности. Здесь параметрами модуляции могут быть:
амплитуда импульсов U, фаза импульсов φ, частота импульсов f,
длительность импульсов или пауз τ, число импульсов n и комбинация
импульсов и пауз, определяющая код k. В последнем случае имеет место так
называемая кодово-импульсная модуляция.
4. Спектры сигналов
Сигнал – изменяющаяся физическая величина, обеспечивающая
передачу информации по линии связи. Всё многообразие сигналов,
используемых в информационных системах, можно разделить на 2 основные
группы: детерминированные и случайные. Детерминированный сигнал
характеризуется тем, что в любые моменты времени их значения являются
известными величинами. Сигнал, значения которого в любые моменты
времени будут случайными величинами, называется случайным
Это разделение является условным, так как детерминированных
сигналов в точном их понимании в природе нет. На практике не может быть
заранее точно предсказано значение сигнала в любые моменты времени,
иначе сигнал не нес бы полезной информации. Кроме того, любой реальный
сигнал случаен в силу воздействия на него многочисленных случайных
факторов. Несмотря на это, исследование детерминированных сигналов
важно по двум причинам:
 математический
аппарат,
используемый
для
анализа
детерминированных сигналов, гораздо проще аппарата анализа
случайных сигналов;
 выводы, полученные в результате исследований детерминированных
сигналов, могут быть во многих случаях использованы для анализа
случайных сигналов.
В зависимости от методов анализа информационных систем
применяются те или иные способы представления сигналов. К основным
относятся:
1) представление сигнала в виде некоторой функции времени x(t);
2) представление сигнала в операторной форме x(p);
3) представление сигнала в виде некоторой функции частоты.
В частотном виде могут представляться как периодические, так и
непериодические детерминированные сигналы.
Необходимо заметить, что в реальных условиях периодические сигналы
не существуют, т.к. идеальный периодический сигнал бесконечен во
времени, в то время как всякий реальный сигнал имеет начало и конец.
Однако во многих случаях конечностью времени действия сигнала можно
пренебречь и для его анализа допустимо использовать аппарат, пригодный
для идеальных периодических сигналов.
А). Периодические сигналы
Функция x(t) называется периодической,
постоянном Т выполняется равенство:
x(t)=x(t+nT),
если
при
некотором
где Т – период функции, n – любое целое (положительное или
отрицательное) число, а аргумент t принимает значение из области
определения этой функции.
x(t)
0
t
Периодическая функция x(t) с периодом Т обладает следующим
свойством: интеграл от этой функции, взятый на интервале длиной Т, не
изменяется при изменении пределов интегрирования при условии, что длина
интервала интегрирования остается равной Т.
В общем случае сигнал представляет собой сложное колебание,
поэтому возникает необходимость представить сложную функцию x(t),
определяющую сигнал через простые функции.
Для представления сигналов в частотной области широко используют два
частных случая разложения функции в ортогональные ряды:
тригонометрическая форма разложения и комплексная.
Рассмотрим их.
1.1. Тригонометрическая форма
Любой периодический сигнал x(t), удовлетворяющий условию Дирихле
(x(t) – ограниченая, кусочно-непрерывная, имеет на протяжении периода
конечное число экстремумов), может быть представлен в виде ряда Фурье по
тригонометрическим функциям:
x(t ) 
a0 
  (a k cos kt  bk sin kt )
2 k 1
(1.1)
Это выражение указывает на то, что периодическая функция x(t),
имеющая период Т может быть разложена по sin и cos углов, кратных углу
t .
Если период функции x(t) равен Т, то основная круговая частота будет

2
, тогда в формуле разложения x(t) значения коэффициентов a0, ak, bk
T
определяется формулами:
a0 
ak 
bk 
2
T
2
T
2
T
T
2
 x(t )dt

T
2
T
2
 x(t ) cos ktdt

T
2
T
2
 x(t ) sin ktdt

T
2
k= 1, 2, 3
Зная коэффициенты ak и bk , можно определить значения амплитуды и
начальной фазы  k-й гармоники.
(1.5)
Ak  ak2  bk2
bk
)
ak
 k  arctg (
(1.6)
Для практического анализа частотных свойств применяется формула
(1.7), так как показывает, какой частоте сигнала соответствует определенная
амплитуда

1
x (t )  A0   Ak cos( k0 t   k )
2
k 1
(1.7), где
1
A0 - постоянная составляющая функции x(t);
2
Ak cos( k0 t   k )  k-я гармоническая составляющая;
Ak , k0 ,  k - амплитуда, частота и начальная фаза k-й гармонической
составляющей;
0 
2
- частота основной гармоники;
T
Т- период колебаний.
1.2.
Комплексная форма
В математическом отношении удобнее оперировать комплексной
формой ряда Фурье. Её получают, применяя преобразование Эйлера
e jkt  e  jkt
cos kt 
(1.8)
2
e jkt  e  jkt
sin kt 
2j
(1.9)
Комплексная форма имеет вид:

x (t ) 
c e
jkt
k
k  
где
ck 
1
T
T
2
 x(t )e
 jkt
dt
(1.10)
(1.11)
T

2
является комплексной амплитудой k-й гармоники для k=0, 2, 3,…
Формулы (1.10) и (1.11) именуются парой преобразования Фурье.
Формула (1.10) даёт временное описание сигнала x(t), если известны
комплексные амплитуды Ck её гармонических составляющих. Совокупность
операций, в результате выполнения которых могут быть определены
гармоники периодической функции x(t), называется гармоническим
анализом.
1.3.
Определение погрешности
При разложении периодических функций на сумму гармоник на практике
часто ограничиваются несколькими первыми гармониками, а остальные не
учитываются. Приближенно представляя функцию x(t) с помощью
тригонометрического многочлена вида

a0
x (t ) 
  Ak cos( kt   k ) (1.12)
2
1
можно получить большую или меньшую ошибку представления в
a0 , ak , bk . .
зависимости от способа выбора коэффициентов многочлена
Оценить величину ошибки наиболее удобно с помощью средней
квадратичной погрешности , определяемой для периодической функции x(t)
с периодом T=2 равенством:
2

1 
 a0 

2
 
 x(t )     (ak cos kt  bk sin kt)  dt
(1.13)
2  
 2 k 1

1
1.4. Спектр
Совокупности коэффициентов ak, bk, k=1, 2, 3,…, разложения
периодической функции x(t) в ряд Фурье называется частотными
спектрами этой функции.
Совокупность амплитуд и соответствующих частот гармоник принято
называть спектром амплитуд.
Совокупность амплитуд и соответствующих частот гармоник называется
спектром фаз.
Спектр амплитуд и спектр фаз однозначно определяют сигнал. Однако для
многих практических задач достаточно ограничиться спектром амплитуд.
k
Ak
спектральные
линии
0
0 20 30
k0
0
0 20
k0
Характерной особенностью спектра периодического сигнала является его
прерывистость
(дискретность).
Расстояние
между
соседними
спектральными линиями одинаковое и равно частоте основной гармоники.
Б) Непериодические сигналы
Всякий непериодический сигнал можно рассматривать как периодический,
период изменения которого равен . В связи с этим спектральный анализ
периодических процессов может быть обобщен и на непериодический сигнал.
x(t)
0
t
Любой физически реализуемый сигнал с конечной энергией обязательно
ограничен во времени, или, иными словами, функция, изображающая такой
сигнал, абсолютно интегрируема. В связи с этим непериодический сигнал
может быть выражен модифицированной формулой периодического сигнала.
Модификация заключается в приравнивании периода колебаний Т
бесконечности и следующих из этого математических преобразований.
Подставляя в комплексную форму ряда Фурье функции xt  выражение
комплексной амплитуды Ck , получим:
 T2

2
1


jkt
 jkt
xt    C k e
    xt e
dt  e jkt
(2.1) , где T 

T K   T
K  
 2



Для непериодической функции T   , следовательно, частотный интервал
между соседними гармониками   0 . В этом выражении деление на


бесконечно большой период Т может быть заменено умножением на
бесконечно малое приращение частоты dw , что в свою очередь, превращает
процесс суммирования в интегрирование, а произведение k в текущую
частоту w
то есть:
xt  
1
2
 
  xt e
 jwt
dte jwt dw
(2.2)
  
Это выражение известно как двойной интеграл Фурье, а величина
S  jw 

 xt e

 jwt
dt
(2.3)
называется прямым преобразованием Фурье функции xt  . Эта величина
характеризует спектральный состав непериодической функции xt  и может
быть названа спектральной плотностью или спектральной характеристикой
функции xt  .
Выражение
xt  
1
2

 S  jwe
jwt
dw
(2.4)

представляющее зависимость непериодической функции от её спектральной
характеристики, называется обратным преобразованием Фурье.
Здесь:
S  jw  S  jw e j (w) - спектральная плотность;
S  jw  S w - амплитудно-частотная характеристика сигнала;
 w - фазо-частотная характеристика сигнала .
Представление непериодической функции интегралом Фурье возможно
при выполнении следующих условий:
1) функция xt  удовлетворяет условиям Дирихле
2) функция xt  абсолютно интегрируема, т.е.

 xt dt  
(2.5)

(этим условиям удовлетворяет практически любой реальный сигнал).
Огибающая спектра
(модуль спектральной плотности)
S  jw
непериодической функции (сигнала) имеет непрерывный характер.
Т.е. спектр непериодического сигнала в отличие от спектра
периодического сигнала является сплошным. Спектральная плотность
однозначно отображает непериодический сигнал и удовлетворяет условиям:
S w  0 ;
1) wlim

2) Модуль спектральной плотности является четной, а аргумент –
нечетной функцией частоты, т.е.
S w  S  w ,  w    w
S(w) φ(w)
φ(w)
S(w)
-w
0
w
3. Пример
Рассмотрим спектр периодического сигнала на примере амплитудномодулированного гармонического сигнала.
xt   At sin w0 t   0 
(3.1)
При амплитудной модуляции амплитуда изменяется по определенному
закону At   A0  Af t 
(3.2),
где А0 – постоянная составляющая амплитуду,
А – наибольшее изменение амплитуды при модуляции,
f(t) – нормированная функция (изменяется в пределах от –1 до +1)
Так как модулируемый параметр сигнала (в данном случае амплитуда)
является непосредственным переносчиком, то функция f(t) выражает закон
изменения во времени передаваемого сообщения. Амплитудномодулированный гармонический сигнал как функция времени в общем
случае имеет вид
xt   A0 1  m A f t sin w0 t   0  (3.3)
где m A 
A
A0
- глубина амплитудной модуляции.
Рассмотрим частный случай, когда функция f(t) изменяется по
гармоническому закону
x(t)
mAA0
A0
A0(1-mA)
t
f t   cos t , причем   w0
Тогда выражение (3.3) примет вид
xt   A0 1  m A cos t sin w0 t   0  
Am
Am
 A0 sin w0 t   0   0 A sin w0   t   0   0 A sin w0  t   0 
2
2
(3.4)
Aк
A0
mA
A0
2
0
 0 
mA
A0
2
0
 0 
w
То есть спектр сигнала, изображенного на рисунке, состоит из трех
гармонических составляющих: несущей с частотой w0 и двух боковых:
– нижней с частотой w0  
– верхней с частотой w0   .
Ширина спектра сигнала w  2 .
Как мы видим, в данном случае для нахождения частотной модели не
потребовалось использование аппарата Фурье, поскольку другой путь поиска
амплитудно-частотной характеристики напрашивается сам по себе и он
довольно простой и быстрый.