Лекция № 3 Математические модели сигналов Сигнал – процесс изменения во времени физического состояния какого-то объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений. Классификация сигналов: Сигналы – детерминированные и случайные; периодические и непериодические; импульсные (видеоимпульсы, радиоимпульсы); аналоговые, дискретные и цифровые. Математические модели физических сигналов: временная и частотная формы представления аналоговых сигналов Математические модели сигналов Временной формой представления аналогового сигнала называют такое разложение сигнала , при котором в качестве базисных функций используются дельтафункции (t ) . Пользуясь фильтрующим свойством дельта-функции, можно записать: s(t ) s( ) ( t )d s( ) (t )d Таким образом, функция s (t ) выражена в виде совокупности примыкающих друг к другу импульсов бесконечно малой длительности. Частотная форма представления периодических сигналов Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал: s (t ) s (t nT ), n 1, 2, 3,... Ряд Фурье для периодического сигнала будет иметь вид: s(t ) a0 2 (an cos n1t bn sin n1t ) n 1 Коэффициенты разложения функции в ряд Фурье находят по формулам: T 2 T 2 T 2 2 2 2 a0 s(t )dt , an s(t ) cos n1tdt , bn s(t )sin n1tdt. T T 2 T T 2 T T 2 Частотная форма представления периодических сигналов В общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами n n1, ( n 1, 2, 3,...), кратными основной частоте 1 . Каждую гармонику можно описать ее амплитудой и начальной фазой An an2 bn2 , An n: tg n bn an . и получить другую, эквивалентную форму ряда Фурье: a0 s (t ) An cos( n1t n ). 2 n 1 Частотная форма представления периодических сигналов Ряд Фурье для периодического сигнала может быть записан в комплексной форме: 1 s(t ) A( jn1 )e jn1t , 2 n T где 2 2 jn1t A( jn1 ) s ( t ) e dt . T T 2 Функцию A( jn1 ) принято называть комплексным спектром периодического сигнала . Этот спектр – дискретный, или линейчатый, так как функция A( jn1 ) определена только для целых значений n . Частотная форма представления периодических сигналов Значение функции A( jn1 ) при конкретном n называют комплексной амплитудой. Запишем комплексный спектр в форме модуля и аргумента: A( jn1 ) A(n1 )e j ( n1 ) . Модуль комплексного спектра A(n1 ) называют спектром амплитуд, а функцию (n1 ) спектром фаз сигнала. Спектры амплитуд и фаз периодического сигнала являются дискретными. При этом спектр амплитуд является четной функцией n, а спектр фаз – нечетной функцией n . Частотная форма представления периодических сигналов Спектральные характеристики периодической последовательности прямоугольных импульсов u (t ) длительностью и амплитудой U 0 , следующих с частотой 1 2 T найдем, записав сигнал u (t ) в виде ряда Фурье в соответствии с выражением: u (t ) a0 2 (an cos n1t bn sin n1t ) n 1 Значения коэффициентов равны: a0 U 0 ; 2 T поэтому 2U 0 n1 an sin ; n 2 U0 u (t ) N bn 0; sin n1 2 cos n1t , 1 2 n1 2 n 1 где N T скважность периодической последовательности Частотная форма представления периодических сигналов Амплитуды гармоник периодической последовательности импульсов, включая постоянную составляющую , определяются выражением: A(n1 ) An U 0 sin n N 2 , N n N n 1, 2,3,... Огибающая спектра амплитуд определяется видом функции: 2U 0 sin( 2) A( ) . T 2 Частотная форма представления периодических сигналов Анализ спектральных характеристик периодической последовательности импульсов показывает: При больших значениях скважности импульсной последовательности амплитудный спектр сигнала содержит большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник. При этом расстояние между соседними линиями мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине. Значение постоянной составляющей примерно вдвое меньше амплитуды первой гармоники . На частотах, кратных 2 n , огибающая спектра равна нулю. Следовательно, амплитуда гармоник, чей номер кратен скважности N, будет равна нулю.