1. РАСЧЕТ СПЕКТРОВ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ 1.1. Спектральное представление периодических сигналов К периодическим относятся сигналы, обладающие свойством: S (t) = S (t + T), где T- период сигнала. Разложение периодического сигнала по базису тригонометрических функций – это разложение его в ряд Фурье. В качестве ортонормированного базиса рассматривают функции: 1, cos 1t, sin 1t, cos 21t, sin21t,… cos n1t, sin n1t, … (1.1) …exp(-j21t), exp(-j1t), 1, exp(j1t), exp(j21t),…; (1.2) или 1 = 2/T – основная частота последовательности. В случае (1.1) получаем тригонометрический ряд Фурье, в случае (1.2)комплексный ряд Фурье. Для тригонометрического ряда Фурье a S (t ) 0 (an cos nω1t bn sin nω1t ) , 2 n1 где коэффициенты ряда: T /2 T /2 T /2 2 2 2 a S ( t ) cos n ω tdt a0 S (t )dt , n S (t ) cos nω1tdt . , bn 1 T T/ 2 T T/ 2 T T/ 2 Другая, эквивалентная формула записи тригонометрического ряда: a S (t ) 0 An cos( nω1t φ n ) , 2 n1 где bn , an an An cos φ n , bn An sin φ n . В общем случае периодический сигнал содержит независящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, или гармоник, с частотами, кратными основной частоте последовательности. Для четного сигнала s (t) = s (– t), коэффициенты аn ≠ 0, bn= 0. Для нечетного сигнала s (t) = – s (– t), коэффициенты bn= 0, аn ≠ 0. Графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала называется спектральной диаграммой. По горизонтальной оси откладываются частоты гармоник, а по вертикали – амплитуды (амплитудная диаграмма) или начальные фазы (фазовая диаграмма). При разложении в комплексный ряд Фурье: An an2 bn2 , φ n arctg s (t ) C n n exp( jnω1t ) , T /2 где Cn 1 s(t ) exp( jnω1t )dt . T T/ 2 Спектр сигнала содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причём С-n = Сn* (* обозначено комплексно-сопряжённое число). Между коэффициентами комплексного и тригонометрического ряда существует связь: An 2 Cn , φ n arg Cn . 1.2. Спектральное представление непериодических сигналов Для непериодических сигналов справедливо преобразование Фурье: 1 s(t ) G ( jω) exp( jωt )dω. 2π Функция G(j)) называется спектральной плотностью сигнала s(t). Функции G(j) и s(t) представляют собой две математические модели одного и того же физического процесса: одна из них отражает частотный состав сигнала, а другая описывает изменение сигнала с течением времени. Спектральная плотность сигнала определяется с использованием прямого преобразования Фурье: G ( jω) s(t ) exp( jωt )dt . Так как спектральная плотность является комплексной функцией, то определяют её модуль (амплитудный спектр) и аргумент (фазовый спектр). По форме амплитудного спектра можно судить о распределении энергии сигнала по частоте: энергия пропорциональна квадрату амплитуды спектральной плотности, то есть |G(j)| 2 имеет физический смысл энергии, приходящейся на 1 Гц. При определении спектральной плотности широко используются свойства преобразования Фурье. 1.3. Основные свойства преобразования Фурье: 1). Свойство линейности n n i 1 i 1 ai si (t ) ai Gi ( jω). 2). Дифференцирование сигнала s / (t ) jωG( jω) . 2 3). Интегрирование сигнала t s(t )dt 0 G( jω) . jω 4). Изменение масштаба независимой переменной (теорема подобия) s (at ) jω G . 1 5). Смещение по времени (теорема запаздывания) s (t t0 ) e jαt0 G ( jω) . 6). Умножение изображений (теорема свёртывания) t s (τ)s (t τ)dτ G ( jω)G ( jω) . 1 2 1 2 0 7). Спектральная плотность гармонической функции s (t) = cos (0t) G( jω) π(δ(ω ω0 ) δ(ω ω0 )). 8). Спектральная плотность радиоимпульса 1 G ( jω) (G A ( j (ω ω 0 ))e j G A ( j (ω ω 0 ))e j ) , 2 где GA(j) - спектральная плотность огибающей A(t). 9). Спектральная плотность δ-функции s(t) = δ (t): G ( jω) 1. Примеры решения задач Задача 1.1 Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами Тu, Т, А, чётную относительно t = 0 (рис. 1.1). Решение Скважность последовательности Q = T/Tи. Находим коэффициенты ряда: 3 a0 A , 2 Q an Tи / 2 nω1Tи 2A 2A cos n ω tdt sin . 1 T Tи / 2 πn 2 s(t) А 0 t Tи Т Рис. 1.1. Периодическая последовательность импульсов, чётная относительно t = 0 Так как сигнал чётный, то bn = 0. Окончательная форма записи: A sin( nπ / Q) s (t ) (1 2 cos nω1t ). Q nπ / Q n 1 На рис. 1.2 представлен амплитудный спектр последовательности импульсов при скважности Q = 5. На рис. 1.3 изображён амплитудный спектр сигнала из примера 1.1 при разложении в комплексный ряд Фурье. Он построен с использованием связи между коэффициентами комплексного и тригонометрического рядов. An A1 A2 a0/2 A3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 /1 Рис. 1.2. Амплитудный спектр последовательности импульсов при скважности Q=5, разложение в тригонометрический ряд Фурье 4 Сn /1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Рис. 1.3. Амплитудный спектр последовательности импульсов при скважности Q=5, разложение в комплексный ряд Фурье Задача 1.2 Определить спектральную длительностью Т и амплитудой А. плотность прямоугольного импульса Решение A, T t , 2 s(t) = 0, t T . 2 Спектральная плотность G ( jω) s(t )e jωt T /2 dt Ae T / 2 jωt A dt (e jω jωT 2 e jωT 2 ) ωT 2A ωT 2 . sin AT ωT ω 2 2 Графики сигнала и его спектральной плотности изображены на рис. 1.4. sin G(j) s(t) A T A -2/T t -Т/2 0 Т 0 2/T 4/T / Рис. 1.4.2Прямоугольный импульс и его спектральная плотность Задача 1.3 5 Определить спектральную плотность треугольного импульса (рис. 1.5). s(t) A t 0 -Т/2 Т/2 Рис. 1.5. Треугольный импульс Решение Задачу решаем с использованием свойств преобразования Фурье, используем при этом метод производной. Часто проще найти спектральную плотность производной от сигнала, чем спектральную плотность самого сигнала. Переход к спектральной плотности самого сигнала делается с использованием свойств преобразования Фурье. 1). Рассмотрим сигнал s 2 (t ) ds(t ) (рис. 1.6.). dt Пусть сигнал s(t) имеет спектральную плотность G(j), а сигнал s2(t) спектральную плотность G2(j). Тогда G2 ( jω) jωG( jω) . 2). Продифференцируем сигнал s2(t) (рис. 1.6 и 1.7), d 2 s(t ) ds 2 (t ) s 3 (t ) . dt dt 2 Тогда G3 ( jω) jωG2 ( jω) ω 2 G ( jω) . s2(t) 2A/Т Т/2 0 -Т/2 -2A/Т Рис. 1.6. Сигнал s2(t) 6 t s3(t) (2A/Т)(t-T/2) (2A/Т)(t+T/2) t -Т/2 0 Т/2 (-4A/Т)(t) Рис. 1.7. Сигнал s3(t) 3). s3(t) = (2A/Т)(t + T/2) - (4A/Т)(t) + (2A/Т) (t - T/2). 4). Определим спектральную плотность сигнала s3 (t): T T 2A j 2 4A 2A j 2 G3 ( jω) e e T T T 5). Определим спектральную плотность исходного сигнала ωT ωT 1 2 A j 2 4 A 2 A j 2 G ( jω) G3 ( jω) / ω 2 e e ω T T T 2 ωT AT sin 4 2 ωT 4 2 . Задачи для самостоятельного решения Задача 1.4 Определить спектр периодической последовательности импульсов (рис. 1.8) треугольных s(t) A t -Т/2 Т/2 0 Рис. 1.8. Периодическая последовательность треугольных импульсов Задача 1.5 7 Определить спектральную плотность пилообразного импульса (рис. 1.9) s(t) U m -Т/2 /2 0 t -Um Рис. 1.9. Пилообразный импульс Задача 1.6 Найти и построить спектры импульсов, изображённых на рис. 1.10, считая, что дальше импульсы повторяются периодически с периодом Т, Представить изображённые на рис. 1.10 сигналы рядами Фурье. s(t) s(t) 0 t Um 0 t -Um -A s(t) s(t) Um 0 Um T/3 t 0 -Um T/2 t -Um Рис. 1.10. К задаче 1.7 Задача 1.7. Определить спектр периодической последовательности 8 пилообразных импульсов (рис. 1.11) s(t) Um 0 /2 -Т/2 Т t -Um Рис. 1.11. Периодическая последовательность пилообразных импульсов Задача 1.8 Найти спектральную плотность колокольной (гауссовской) формы: сигнала, являющегося импульсом t2 2 τ2 S (t ) U 0 e и . где τи- половина длительности импульса по уровню 0,61 от максимального значения U0. Представить результат в виде графика спектральной плотности от аргумента θ ω и . Примечание: При интегрировании воспользоваться интегралом Эйлера-Пуассона: e Ax2 2 BxC π dx e A 9 B 2 AC A .