Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Ëþäìèëà Áèøëåð íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü: äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, àêàäåìèê Ðóáàêîâ Âàëåðèé Àíàòîëüåâè÷ Ìàé, 2015 Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Öåëü Çàäà÷à Àíàëèç äâèæåíèÿ ãðàâèòàöèîííî ñâÿçàííûõ îáúåêòîâ â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íîå îäíîðîäíîå è èçîòðîïíîå ïðîñòðàíñòâî, çàïîëíåííîå ïûëüþ ñ íóëåâûì äàâëåíèåì, íàéäåì åãî ïîòåíöèàë, à çàòåì ïðîàíàëèçèðóåì, êàê ýòîò ïîòåíöèàë âëèÿåò íà äâèæåíèå ïëàíåòû â ïîëå òÿæåñòè ìàññèâíîãî òåëà. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ó÷èòûâàëèñü îñîáåííîñòè ñîâðåìåííîé Âñåëåííîé: 1 Îäíîðîäíîñòü è èçîòðîïíîñòü 2 Ðàñøèðåíèå 3 Ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâèçíà, åñëè è îòëè÷íà îò íóëÿ, òî ìàëà Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Íàõîæäåíèå ïîòåíöèàëà Ñèñòåìà óðàâíåíèé è åå îäíîðîäíîå ðåøåíèå Óðàâíåíèå Ýéëåðà: ∂v ∂v ∂ϕ +v =− , ∂t ∂r ∂r (1) óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè: 1 ∂ 2 ∂ρ + 2 r ρv = 0, ∂t r ∂r (2) 1 ∂ r 2 ∂r (3) óðàâíåíèå Ïóàññîíà: ∂ϕ r ∂r 2 = 4πG ρ, ãäå v = v (r , t), ϕ = ϕ(r , t), ρ = ρ(t) (òàê êàê ñðåäà îäíîðîäíà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè) Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Íàõîæäåíèå ïîòåíöèàëà Ðåøàÿ äàííóþ ñèñòåìó ïðèõîäèì, ó óðàâíåíèþ 2 8πG 1 ȧ κ = + , a 3α3 a3 a2 ãäå a(t) = 1/(αρ1/3 ), α ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ýòî óðàâíåíèå ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì Ôðèäìàíà: 2 8πG æ ȧ = ρ − 2, a 3 a (4) (5) ãäå a(t) ìàñøòàáíûé ôàêòîð, ȧa ïàðàìåòð Õàááëà, ρ ïëîòíîñòü ýíåðãèè, æ ðîñòîðàíñòâåííàÿ êðèâèçíà.  ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå æ = 0. Òîãäà 1 ȧ 2 a(t) = (6πG )1/3 (t)2/3 , H = = , (6) α a 3t à èñêîìûé ïîòåíöèàë ðàâåí 2 1 r2 ϕ = πG ρr 2 = . 3 9 t2 (7) Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Ìàññèâíîå òåëî â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé Äâèæåíèå ïëàíåòû â ïîëå òÿæåñòè ìàññèâíîãî òåëà Çàïèøåì ëàãðàíæèàí ïëàíåòû â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: L= mr˙2 m(r ϕ̇)2 mM m r2 + +G − , 2 2 r 9 (t + t1 )2 (8) ãäå t1 ìîìåíò íà÷àëà íàáëþäåíèÿ çà äâèæåíèåì. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïëàíåòû: r¨ − ãäå L = mr 2 ϕ̇. r L2 GM 2 + 2 + = 0, m2 r 3 r 9 (t + t1 )2 (9) Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Ìàññèâíîå òåëî â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ Óðàâíåíèå r¨ − L2 r GM 2 + 2 + =0 2 3 m r r 9 (t + t1 )2 (10) ðåøàåì ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé.  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè 29 (t+tr 1 )2 = 0 è r¨ = 0. Ïîëó÷àåì íåâîçìóùåííîå ðåøåíèå L2 . (11) r0 = GMm2 Ðåøåíèå â ïåðâûõ äâóõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé: r (t) = ãäå ω0 = L . mr02 L2 2 2 6 r0 r0 + − , 2 4 2 2 GMm 9 ω0 (t + t1 ) 9 ω0 (t + t1 )4 (12) Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Ìàññèâíîå òåëî â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé Ñ ìîìåíòà âðåìåíè t1 (t = 0) â ïðåäåëå ïðè t → ∞ ðàäèóñ îðáèòû óâåëè÷èòñÿ íà âåëè÷èíó ∆r = 2 r0 2 6 r0 H 2 (t1 ) − . ∼ r 0 9 ω02 (t1 )2 9 ω04 (t1 )4 ω02 (13) Äëÿ ñîâðåìåííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà Õàááëà è ÷àñòîòû îáðàùåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà èçìåíåíèå ðàäèóñà î÷åíü ìàëî: (14) ∆r ∼ 1.5 · 10−9 ì. Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Âûâîäû Ðåçóëüòàòû  ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ ðàáîòû íàéäåíû: ïîòåíöèàë 1 r2 ϕ= , (15) 9 t2 çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ÷àñòèö â ïðîñòðàíñòâå îò âðåìåíè 1 1 ρ= , (16) 6πG t 2 ìàñøòàáíûé ôàêòîð 1 a(t) = (6πG )1/3 · t 2/3 , (17) α ïðè ýòîì âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìàñøòàáíîãî ôàêòîðà îòðèöàòåëüíà. Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ðàñøèðåíèå áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ çàìåäëåíèåì: 1 ä ∼ − 4/3 , (18) t Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Âûâîäû ïàðàìåòð Õàááëà aȧ è åãî ñâÿçü ñî ñêîðîñòüþ ðàäèàëüíîãî äâèæåíèÿ: 21 , 3t v = Hr (çàêîí H= Õàááëà), (19) èçìåíåíèå ðàäèóñà îðáèòû çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ ñ ìîìåíòà âðåìåíè t1 : ∆r = H 2 (t1 ) 2 r0 2 6 r0 − ∼ r . 0 9 ω02 (t1 )2 9 ω04 (t1 )4 ω02 (20) Äëÿ ñîâðåìåííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà H è ÷àñòîòû îáðàùåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà ýòî èçìåíåíèå î÷åíü ìàëî: H 2 (t1 ) ∼ 10−20 , ω02 (21) −9 ∆r ∼ 1.5 · 10 ì. Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Âûâîäû Ñïàñèáî çà âíèìàíèå! Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Âûâîäû Ñïàñèáî çà âíèìàíèå! Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Âûâîäû Îäíîðîäíàÿ è èçîòðîïíàÿ Âñåëåííàÿ Ìåòðèêà Ôðèäìàíà-Ðîáåðòñîíà-Óîêåðà: ds 2 = dt 2 − a2 (t)γij dx i dx j . (22) Óðàâíåíèå Ôðèäìàíà: 2 8πG æ ȧ ρ − 2, = a 3 a (23) ãäå a(t) ìàñøòàáíûé ôàêòîð, ȧa òåìï ðàñøèðåíèÿ Âñåëåííîé (ïàðàìåòð Õàááëà), ρ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ìàòåðèè, æ ïðîñòîðàíñòâåííàÿ êðèâèçíà. Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Âûâîäû Òåïåðü ìîæíî âûïèñàòü îêîí÷àòåëüíîå ðåøåíèå íà÷àëüíîé ñèñòåìû: 1 1 , 6πG t 2 21 r ρ̇ = r = Hr , v =− 3ρ 3t 1 r2 2 , ϕ = πG ρr 2 = 3 9 t2 1 a(t) = (6πG )1/3 (t)2/3 , α ȧ 21 H= = a 3t ρ= (24) (25) (26) (27) (28) Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä Âûâîäû Ñäåëàåì çàìåíó u=l+ 2 r0 9 ω02 (t + t1 )2 (29) è ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (??) ê âèäó ü + ω02 u = 0, (30) r0 . Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (29) ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíîì − 29 ω62 (t+t 1 )4 0 ïðåäñòàâèìî â âèäå: u = A cos ω0 t + B sin ω0 t. (31) Âûáåðåì A = 0 è B = 0, òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì êðóãîâóþ îðáèòó. Ïîëó÷àåì 2 r0 l =− 2 (32) 9 ω0 (t + t1 )2 ïåðâàÿ ïîïðàâêà ê ðàäèóñó. Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ ïîïðàâêè áîëåå ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ.