= 2) è ñôåðè÷åñêîé (ν = 3) ñèììåòðèé òå÷åíèÿ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 3. Åñëè ïëîòíîñòü íåâîçìóùåííîé ñðåäû ïîñòîÿííà (ω = 0), òî γs = 73.1395 äëÿ ν = 2 è γs = 3.05361 äëÿ ν = 3.  ñâÿçè ñ ýòèì ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî â ñôåðè÷åñêîì ñëó÷àå ïðè ω = 0 ýêñòðàïîëÿöèÿ ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [1] äàåò çíà÷åíèå γs , áëèçêîå ê òðåì. (ν Öåëüþ ñòàòüè áûëî óêàçàòü íà äâà âîçìîæíûõ âàðèàíòà ðàçâèòèÿ òå÷åíèÿ â îáëàñòè ïåðåä îòðàæåííîé ÓÂ. Ôîðìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è î ñõîäÿùåéñÿ Ó ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî äëÿ ëþáûõ íàáîðîâ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ν , ω, γ [2]. Îäíàêî ôèçè÷åñêàÿ ñòîðîíà ïðîöåññà, íàáëþäàåìîãî â îáëàñòè III äëÿ çíà÷åíèé γs = γs (ν, ω) < γ , íå ÿñíà è òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ. Àâòîð áëàãîäàðèò È.À. ×åðíîâà çà âíèìàíèå ê ðàáîòå. ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ 1. Âàëèåâ Õ.Ô. Îòðàæåíèå óäàðíîé âîëíû îò öåíòðà èëè îñè ñèììåòðèè ïðè ïîêàçàòåëÿõ àäèàáàòû îò 1.2 äî 3 // ÏÌÌ. 2009. Âûï. 73, 3. Ñ. 397407. 2. Lazarus R.B. Self-similar solutions for converging shocks and collapsing cavities // SIAM J. Numer. Anal. 1981. Vol. 18, is. 2. P. 316371. ÓÄÊ 539.3 Â.È. Êîïíèíà, Ì.Â. Îâ÷èííèêîâà ÈÇÃÈÁ ÈÇÎÒÐÎÏÍÎÉ ÏËÈÒÛ, ÎÑËÀÁËÅÍÍÎÉ ÊÂÀÄÐÀÒÍÛÌ ÎÒÂÅÐÑÒÈÅÌ Ïóñòü èìååòñÿ èçîòðîïíàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëèòà, îñëàáëåííàÿ êâàäðàòíûì îòâåðñòèåì (ñî ñòîðîíîé à). Öåíòð îòâåðñòèÿ ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì ñèñòåìû êîîðäèíàò, êîòîðàÿ âûáèðàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïëîñêîñòü OZ XOY ñîâïàäàåò ñî ñðåäèííîé ïëîñêîñòüþ ïëèòû, à îñü íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç (ðèñóíîê). Ïëàñòèíêà íàõîäèòñÿ ïîä äåéñòâèåì èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ èíòåíñèâíîñòè ïàðàëëåëüíûõ îñè îñè OX . OY , è èíòåíñèâíîñòè M2 M1 íà ñòîðîíàõ, íà ñòîðîíàõ, ïàðàëëåëüíûõ Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîíòóð îòâåðñòèÿ èëè æåñòêî çàäåëàí, èëè ñâîáîäåí îò äåéñòâèÿ èçãèáàþùèõ íàãðóçîê. Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ÍÄÑ òàêîé ïëèòû. Ñäåëàåì äâà ïðåäïîëîæåíèÿ: 1) ðàçìåðû îòâåðñòèÿ ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ñàìîé ïëèòû; 2) îòâåðñòèå íàõîäèòñÿ äîñòàòî÷íî äàëåêî îò êðà¼â ïëèòû (ïîðÿäêà äâóõ-òðåõ äèàìåòðîâ). 155 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ñâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèþ îäíîðîäíîãî áèãàðìîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ [1]: ▽2 ▽2 w(x, y) = 0 ê (1) îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè ïðîãèáà òî÷åê ñðåäèííîé ïëîñêîñòè ïëèòû. Äàííîå óðàâíåíèå äîëæíî áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíî ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà êîíòóðå êâàäðàòíîãî îòâåðñòèÿ. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èìåþò âèä: ïðè æ¼ñòêîé çàäåëêå dw = 0; (2) dn ïðè ñâîáîäíîì îò äåéñòâèÿ èçãèáàþùèõ íàãðóçîê êðàå îòâåðñòèÿ w = 0, Mn = 0, Nn + ∂Hnt = 0. ∂S (3) Çäåñü Mn èçãèáàþùèé ìîìåíò, äåéñòâóþùèé íà ïëîùàäêå ñ íîðìàëüþ nt n (n âíåøíÿÿ íîðìàëü ê êîíòóðó îòâåðñòèÿ), Nn + ∂H ∂S îáîáùåííàÿ ïåðåðåçûâàþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òîé æå ïëîùàäêå[2]. Ââåäÿ íàðÿäó ñ âåùåñòâåííûìè íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè x è y äâå íåçàâèñèìûå êîìïëåêñíûå ïåðåìåííûå: z = x + iy, z̄ = x − iy, (4) ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè ïðîãèáà â ñëåäóþùåì âèäå [3]: 1 w(z, z̄) = Re[z̄ϕ(z) + χ(z)] = [z̄ϕ(z) + χ(z) + zϕ(z) + χ(z)], 2 156 (5) ãäå ϕ(z) è χ(z) åñòü àíàëèòè÷åñêèå â îáëàñòè ïëèòû ôóíêöèè êîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ, ψ(z) = χ′(z). Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðè æåñòêîé çàäåëêå è ñâîáîäíîì çàãðóæåíèè ìîæíî îáúåäèíèòü, ïðåäñòàâèâ èõ â îáùåì âèäå (ñì. [3]): k1 ϕ(t) + k2 [tϕ′ (t) + ψ(z)] = 0, ãäå ( ( k1 = 3+v 1−v k2 = −1 (6) â ñëó÷àå ñâîáîäíîãî çàãðóæåíèÿ êðàÿ ïëèòû è â ñëó÷àå æåñòêîé çàäåëêè. Çàäà÷ó ðåøàåì ìåòîäîì íàëîæåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ýòîò ìåòîä ñîñòîèò â ïðåäñòàâëåíèè ôóíêöèé ϕ(z) è ψ(z) â ñëåäóþùåì âèäå (ñì. [3]): k1 = 1 k2 = 1 ϕ(z) = ϕ0 (z) + ϕ1 (z), ψ(z) = ψ0 (z) + ψ1 (z), (7) ãäå ϕ0(z) è ψ0(z) õàðàêòåðèçóþò ÍÄÑ ñïëîøíîé ïëàñòèíêè, à ϕ1(z) è ψ1 (z) âëèÿíèå îòâåðñòèÿ íà ÍÄÑ ïëèòû. Ñíà÷àëà ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ϕ0(z) è ψ0(z), çàòåì, ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (6) ñ ó÷åòîì (7), ïîëó÷àåì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ϕ1(z) è ψ1(z). Òàê êàê îòâåðñòèå èìååò êâàäðàòíóþ ôîðìó, òî ââåäåì îòîáðàæàþùóþ ôóíêöèþ âèäà (ñì. [3]): z = ω(ξ) = R(ξ + m ), ξ3 (8) êîòîðàÿ îòîáðàæàåò âíåøíîñòü åäèíè÷íîãî êðóãà γ â ïëîñêîñòè ξ íà âíåøíîñòü êâàäðàòà â ïëîñêîñòè z. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âèäà ôóíêöèé ϕ1(z) è ψ1(z) áóäåì èñïîëüçîâàòü èíòåãðàëû òèïà Êîøè. Óìíîæàÿ ñíà÷àëà ãðàíè÷íîå óñëîâèå, à ïîòîì ñîïðÿæåííîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà ÿäðî dσ Êîøè 2Πi1 σ−z (|ξ| > 1) è èíòåãðèðóÿ ïî êîíòóðó åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè γ , ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ϕ1(z) è ψ1(z).  èòîãå ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ϕ(z) è ψ(z) : ϕ(z) = − ψ(z) = −(− 1 ξ B1 R 1 M1 + M2 A1 Rm + z+ 3 , 4D(1 + v) ξ k1 k1 − k2 m ξ 1 A1 R B1 Rm M2 − M1 z+ ( + )− 2D(1 − v) k2 ξ ξ3 + mξ 3 1− (9) 3m ξ4 (3 B1 R 1 A1 Rm − ) + a1 mξ), ξ 4 k1 k1 − k2 m ξ 2 157 (10) ãäå A1 = M1 − M2 M1 + M2 (k1 + k2 ), B1 = k2 . 4D(1 + v) 2D(1 − v) (11) ×èñëåííûå ðàñ÷åòû ÍÄÑ ïðÿìîóãîëüíîé èçîòðîïíîé ïëàñòèíêè, îñëàáëåííîé îäíèì êâàäðàòíûì îòâåðñòèåì, áûëè ïðîâåäåíû äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ: 1) êðàé îòâåðñòèÿ ñâîáîäåí îò äåéñòâèÿ èçãèáàþùèõ íàãðóçîê; 2) êðàé îòâåðñòèÿ æåñòêî çàùåìëåí (òàáëèöà). 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 135◦ 150◦ 180◦ Îáùèé ñëó÷àé 2,425 3,117 4,083 3,192 2,491 4,083 3,117 2,425 ×èñòûé èçãèá 1,639 2,103 2,722 2,103 1,639 2,722 2,103 1,639 0,853 1,089 1,361 1,014 0,786 1,361 1,089 0,853 Îáùèé ñëó÷àé 1,465 3,192 5,310 2,877 1,190 5,310 3,192 1,465 ×èñòûé èçãèá 0,885 2,023 3,540 2,023 0,885 3,540 2,023 0,885 Îäíîñòîðîííèé èçãèá 0,305 0,854 1,770 1,169 0,580 1,770 0,854 0,305 Ñâîáîäíîå çàêðåïëåíèå (MΘ ) Îäíîñòîðîííèé èçãèá Æåñòêàÿ çàäåëêà (Mr ) Ñðàâíèâàÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ïåðâîé è âòîðîé çàäà÷àõ, ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû: 1) ñâîáîäíîå çàêðåïëåíèå ñíèæàåò êîíöåíòðàöèþ íàïðÿæåíèé âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ; 2) æåñòêîå çàêðåïëåíèå óâåëè÷èâàåò êîíöåíòðàöèþ íàïðÿæåíèé, ðàçíèöà ìåæäó ìàêñèìàëüíûì è ìèíèìàëüíûì çíà÷åíèÿìè íàïðÿæåíèé çíà÷èòåëüíî áîëüøå, ÷åì ïðè ñâîáîäíîì çàêðåïëåíèè; 3) âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ è ïðè îáîèõ ñïîñîáàõ çàêðåïëåíèÿ ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå èçãèáàþùåãî ìîìåíòà äîñòèãàåòñÿ â óãëîâûõ òî÷êàõ êâàäðàòà. ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ 1. Ñàâèí Ã.Í. Êîíöåíòðàöèÿ íàïðÿæåíèé îêîëî îòâåðñòèé. Ì.: Ãîñ. èçä-âî òåõí.òåîð. ëèò., 1951. 2. Ëåõíèöêèé Ñ.Ã. Àíèçîòðîïíûå ïëàñòèíêè. Ì.: Ãîñ. èçä-âî òåõí.-òåîð. ëèò., 1957. 3. Ìóñõåëèøâèëè Í.È. Íåêîòîðûå îñíîâíûå óïðóãîñòè. Ì.: Íàóêà, 1966. 158 çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè